高一數學教案：《函數的單調性》教學設計

教學

環節

教學時間

教學目的

教學呈現

設計意圖

教學方法

說明

新

授

課

7

分

鐘

了解單調函數、單調區間的概念

能運用函數單調性的概念結合圖象判斷函數的單調性并寫出單調區間

2.單調函數、單調區間

[教師口述]：函數是單調增函數或是單調減函數，是對定義域內某個區間而言的。如果函數在某個區間上是單調增函數（單調減函數），那么就說函數在這個區間上具有單調性。這一區間叫做的單調增（減）區間。

如果函數在定義域的某個子集上是增加的或是減少的，那么就稱函數在這個子集上具有單調性。如果函數在整個定義域內是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數為增函數或減函數，統稱為單調函數。

問題3：（如圖）定義在區間上

的函數的圖象，根據圖象

說出的單調區間，以及在

每一單調區間上，是單調

增函數還是單調減函數。(移動鼠標

到圖像上觀察會出現單調區間)

介紹相關概念，使學生進一步理解單調性的概念。

使學生進一步熟悉函數的單調性與函數的圖象間的關系,會從函數圖象上初步判斷函數的單調性；并培養學生運用數學語言進行正確表達的能力。

談

話

法

題目及圖形的給出用課件演示。

注：

對函數的單調減區間學生易錯寫成

的形式，要特別加以澄清，并舉反例加以說明

教學

環節

教學時間

教學目的

教學呈現

設計意圖

教學方法

說明

新

授

課

12

分

鐘

能運用函數的單調性定義進行證明函數在某一區間上的單調性

能靈活運用概念證題

3.函數單調性的判斷與證明

我們來看例題:

例1：說出函數的單調區間，并指明在該區間上的單調性。

解析：畫出圖形，并通過圖形讓學生自己講出過程。

板書：詳細過程。

教師過渡語言：

要了解函數某一區間是否具有單調性，從圖象上進行觀察是一種常用而又較為粗略的方法，嚴格地說，它需要根據函數單調性的定義進行證明。我們來看一個例題：

例2：畫出的圖像，判斷它的

單調性，并加以證明。

解析：畫出圖形，讓學生歸納。

下面利用定義證明：（略）

思考交流:請同學們試想，根據函數單調的定義證明已知函數的單調性的關鍵在于什么？

師生共同歸納用定義法證明函數單調的一般步驟：

（1）取值：設是給定區間上的任意兩個值，且；

（2）作差與變形：作差，變形，一般化成幾個因子積的形式（或平方和形式）；

（3）判斷：確定的符號；

（4）結論。

接下來，我們再來看一個例題：

例3：判斷在（-∞，0）的單調

性，并加以證明。

分析:先畫圖，利用圖像來判斷，再利用定義來證明單調性。（讓學生自己動手）

變式訓練：將本題中的定義域改為(0，+ ∞),你能否給出解答嗎？

滲透用圖象法來判斷函數的單調性思想方法

提出問題、創設情境，培養學生積極思考、快速把握問題實質的良好思維品質。

加深學生對函數單調性定義的理解，規范解題格式

培養學生歸納總結的能力

培養學生自己動手的能力

談

話

法

講

授

法

討

論

法

例1的圖用課件演示

上升下降。

注：1.請學生說

出：將例1中分子上的1改為k時的單調區間。

2.通過以上的分析，

能否說例1中的函數        在定義域             內是減少的？

在講授完，用課件展示過程。

注：例題中的注意點：

①解題格式

②防止循環論證

③作差同“0”比較

總結：利用圖象法判斷函數的單調性，利用定義法證明(步驟：取值，作差與變形，判斷，結論)。

在講授完，用課件展示過程。

教學

環節

教學時間

教學目的

教學呈現

設計意圖

教學方法

說明

課

堂

練

習

7

分

鐘

進一步鞏固函數單調性的概念及證明函數單調性的方法

練習：

1.定義在R上的函數對任意兩個不等實數a,b,總有

成立，則必有    （      ）

A. 函數是先增后減函數;

B. 函數是先減后增函數;

C. 是R上的減函數；

D. 是R上的增函數。

2.設函數是R上的減函

數，求a的范圍。

3.函數

在上是增函數，在上是減函

數，則（）

A.-1 B.7 C.3 D.

4.求證：函數在區間上是單調增函數。

及時反饋，檢查知識的落實情況

練

習

法

結果在課件上展示出來

課

后

小

結

2

分

鐘

強調教學目標突出教學重點

本節課重點要理解函數單調性及相關概念，掌握

函數單調性的判斷(圖象法)與證明(定義法)的方法與

步驟（取值，作差與變形，判斷，結論）；通過學習,增強數形結合的意識與能力，學會從感性到理性，從具體到抽象的研究問題的方法。

使學生在頭腦中的知識結構得到提煉、幫助掌握重點內容

談

話

法

讓學生來小結、回顧

布

置

作

業

1

分

鐘

課后進一步掌握、鞏固概念方法

課本習題2-3 A組：2，4，5

課后思考：

函數在上是增函數，試求出a的取值范圍。

培養學生獨立解決問題的能力

課后思考要求較

高作為選做題

教學

后記

本課是讓學生通過觀察函數圖象的基礎上，從特殊到一般的方法歸納出

函數單調性的定義及有關概念，通過例題歸納出證明函數單調性的方法、

步驟及注意點。這篇教學設計完整，思路清晰．案例首先通過實例闡述了

函數單調性產生的背景，歸納、抽象概括出了增函數、減函數的定義，

充分體現了數學教學的本質是數學思維過程的教學，符合新課程標準的

精神．例題與練習由淺入深，完整，全面．練習的設計有新意，有深度，

為學生數學思維能力、創造能力的培養提供了平臺．它的特點體現在如

下幾個方面：

1.強調對基本概念和基本思想的理解和掌握

由于數學高度抽象的特點，注重體現基本概念的來龍去脈．在數學中要引導

學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質．

2.注重聯系，提高對數學整體的認識

數學的發展既有內在的動力，也有外在的動力．在高中數學的教學中，

要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系，數學與日常生活的聯系，

數學與其他學科的聯系．

3、注重數學知識與實際的聯系，發展學生的應用意識和能力

在數學教學中，應注重發展學生的應用意識；通過豐富的實例引入數學知識，

引導學生應用數學知識解決實際問題，經歷探索、解決問題的過程，體會數

學的應用價值，幫助學生認識到：數學與我有關，與實際生活有關；數學是

有用的，我要用數學，我能用數學．

但是，在真正教學中也出現了一些問題：

1.時間的控制上難以把握；2.學生的單調性的證明過程寫的不夠完美。

教學

環節

教學時間

教學目的

教學呈現

設計意圖

教學

方法

說明

導入

新課

1

分

鐘

利用生活中的實例引出課 題

教師引言：

日常生活中，我們有過這樣的體驗：從階梯教室前向后走，逐步上升，從階梯教室后向前走，逐步下降,上下樓梯也是一樣。

（而后將其引申到函數中圖像的上升與下降，接著板書課題：函數的單調性）

明確學習內容且向學生滲透研究函數問題的一般方法。

講

授

法

用課件演示

新

授

課

15分

鐘

對函數的單調性有感性的認識

1.函數的單調性

問題1：在2003年抗擊非典型性肺炎時，衛

生部門對疫情進行了通報，下圖(課件中)是

北京市從4月21日至5月19日期間每日新

增病例的變化統計圖。從圖看出，形勢從何

日開始好轉？

問題2：一次函數y=kx+b中，當k>0時，y

的值隨x的值的增大而         ；當k<0

時，y的值隨x的值的增大而         。

思考交流：對于下圖(課件中)給出的函數值y隨自變量x值的變化情況嗎？(移動鼠標到圖像上觀察會出現y隨x值的變化情況)

給出實例: 用鼠標拖動紅點左右移動，你會發現圖像中點的坐標有何變化嗎？你能找出其中的規律嗎？怎樣用數學語言表達函數值的增減變化嗎？

考察學生的觀察能力，培養學生的數學表達能力讓學生自己分析。

演

示

法

用課件演示

對函數圖象的增、減情況用幾何畫板演示，增加直觀性、提高學生興趣

用課件演示

理解增、減函數的定義

從上推廣到一般情況，給出一般圖形，要求轉化成符號語言,此時提出“單調增函數、單調減函數”兩名詞；讓學生自己總結單調增、減函數的具體定義。

板書：

一般地，設函數的定義域為I，區間AI：如果對于區間A內的任意兩個值，當時都有

，

那么就說在這個區間上是單調增（減）函數。

思考交流：你認為增、減函數定義中的關鍵

詞是什么？

讓學生自己去領悟、思考、概念。

強化教學重點，加強對知識的記憶

把握概念的本質

演

示

法與

談

話

法

講

授

法

讓學生口述

教師板書

關鍵詞：“任意”

、“都”。