2019年高考數學總復習專練：切線方程

　　高考數學總復習: 切線方程

　　考點一。導數的運算

　　1.求下列函數的導數：

　　(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；  (2)y＝x2sin x；  (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝ln xx2＋1；(5)y＝ln(2x－5).

　　解：(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，∴y′＝18x2－10x－4.

　　(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

　　(3)y′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln 3＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.

　　(4)y′＝ .

　　(5)令u＝2x－5，y＝ln u，則y′＝(ln u)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.

　　2.(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，求x0的值。

　　(2)若函數f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，求f′(－1)的值。

　　解：(1)f′(x)＝2 016＋ln x＋x×1x＝2 017＋ln x，又f′(x0)＝2 017＋ln x0＝2 017，解得x0＝1.

　　(2)f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)為奇函數，且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.

　　考點二。導數的幾何意義

　　命題點1　已知切點的切線方程問題

　　3.(1)求函數f(x)＝ln x－2xx的圖像在點(1，－2)處的切線方程。

　　解：(1)f′(x)＝1－ln xx2，則f′(1)＝1，故該切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.

　　（2）求曲線 在點 處的切線方程。

　　解： 在點 處斜率 ，則切線方程為 ，即 ．

　　（3）求斜率k=2的拋物線 的切線方程。

　　解：設 為切點，則斜率為 ． ．則切點 ．故切線方程為 ，即 .

　　（4）已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為__________．

　　解：y′＝x，y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2，∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴過P， Q的切線方程分別為：y＝4x－8，

　　y＝－2x－2，聯立方程解得y＝－4.

　　（5）已知f(x)在（1，f(1))處的切線方程為： ，求 的值。解：  。

　　（6）已知y=x+lnx在（1,1）處的切線與 相切，求a的值。

　　解： ， ，則切線方程為：y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,又因切線與 相切，則 ， ，則 ，故a=8或a=0(舍）。

　　（7）已知函數f(x)＝lnx＋2x ，求：（1）f′(1)；     （2）在點P(1，f(1))處的切線方程。

　　解：（1）f′(x)＝1x＋2f′(1)曲線在(1，f(1))處切線方程的斜率k＝f′(1)，則f′(1)＝1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－1，（2）f(1)＝ln1＋2×(－1)＝－2，所以切點(1，－2),所以切線方程為：y＋2＝－(x－1),化簡得x＋y＋1＝0．

　　(8)已知f(x）滿足: ,求f(x)在（1,1）處的切線方程。

　　解： ，令x=0,則 ，則切線方程：y=x-2.

　　命題點2　未知切點的切線方程問題

　　4.(1)求與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程。

　　(2)求過點(0，－1)且與f(x)＝xln x相切的直線方程。

　　（3）求過點 且與曲線 相切的直線方程． （4）求過點 且與 相切的直線方程．

　　（5）求過 與曲線 相切的直線方程． （6）求過點 與 相切的直線方程。

　　解：(1)對y＝x2求導得y′＝2x.設切點坐標為(x0，x20)，則切線斜率為k＝2x0.

　　由2x0＝2得x0＝1，故切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

　　(2)∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，∴設切點為(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴y0＝x0ln x0，y0＋1＝?1＋ln x0?x0，解得x0＝1，y0＝0.∴切點為(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.

　　（3）設 為切點，則切線的斜率為 ． 切線方程為 ，即 ．又已知切線過點 ，把它代入上述方程，得 ．

　　解得 ，即 ．

　　（4）設切點為 ，則點 的坐標滿足 ．

　　因 ，故切線的方程為 ．點 在切線上，則有 ．化簡得 ，解得 ．所以，切點為 ，切線方程為 ．

　　（5）設 為切點，則斜率為 ． 切線方程為 ． ．過點 ，代入 ．

　　解得 ，或 ．故所求切線方程為 ，或 ，即   ，或 ．

　　（6）設切點 ，則由 ，在點 處的斜率 ，有在點 處的切線的方程為 。又因為點 與點P（1，2）均在曲線C上，

　　有 ，消去 得 ，

　　解得 或 ，于是 或 ，所以所求切線方程為 或 。

　　命題點3　和切線有關的參數問題

　　5.（1）若曲線y＝mx＋ln x在點(1，m)處的切線平行于x軸，則m＝________.

　　解：∵y′＝m＋1x，∴y′|x＝1＝m＋1＝0， ∴m＝－1.

　　（2）已知f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72(m<0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖像都相切，且與f(x)圖像的切點為(1，f(1))，求m的值。

　　解：∵f′(x)＝1x，∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.

　　g′(x)＝x＋m，設直線l與g(x)的圖像的切點為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m<0，

　　于是解得m＝－2.

　　（3）設曲線y＝(ax－1)ex在點A(x0，y1)處的切線為l1，曲線y＝(1－x)e－x在點B(x0，y2)處的切線為l2，若存在x0∈0，32，使得l1⊥l2，則實數a的取值范圍是________．

　　解：由y＝(ax－1)ex，得y′＝aex＋(ax－1)ex＝(ax＋a－1)ex，所以 ＝(ax0＋a－1) .

　　由y＝(1－x)e－x＝1－xex，得y′＝－ex－ 1－x ex ex 2＝x－2ex，所以 ＝ .因為l1⊥l2，所以 · ＝－1，即(ax0＋a－1) · ＝－1，即(ax0＋a－1)·(x0－2)＝－1，從而a＝x0－3x20－x0－2，其中x0∈0，32，令 ，則 。

　　考點三。切線與坐標軸面積

　　6.（1）求曲線f(x)=  在點P(3,3)處的切線與坐標軸圍成的面積。

　　解：f(x)= ，求導：f'(x)=-  ,點P（3,3）處斜率k=f'(3)=-1,切線為：y-3=k(x-3)=-x+3，

　　切線y=-x+6,與坐標軸交點為（6,0）和（0,6）,所以所求面積：S= 6*6=18.

　　(2)曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為________.

　　解：∵y′＝－2e－2x，曲線在點(0,2)處的切線斜率k＝－2，∴切線方程為y＝－2x＋2，該直線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形，其中直線y＝－2x＋2與y＝x的交點為A(23，23)，∴三角形的面積S＝12×1×23＝13.

　　（3） y＝  的切線與坐標軸圍成的最大面積.

　　解：y'=- ，設（a， ）為其上任一點，切線斜率k=- ，建立直線方程：y- =- (x-a)

　　令x=0，解得y軸坐標為（0，2 )，y=0,x軸上坐標（a+1，0），由三角形面積公式得s（a）= *2 *（a+1），則s'(a)=-a* =0 得：a=0，當a=0時取極大值點。在（  ）上就是最大值s（a）max=1。