2019年高考數學總復習專練：函數單調性

　　高考數學總復習：函數單調性

　　專題一   函數單調性

　　單調性

　　增+增=增；   減+減=減；（增*增，減*減，增*減，增/減單調性不確定）

　　考點一．定義法判斷函數的單調性

　　（1）討論函數f(x)＝axx2－1(a>0)的單調性．

　　解：由x2－1≠0，得x≠±1，即定義域為(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)．

　　①    設－1<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2?x21－1??x22－1?＝a?x2－x1??x1x2＋1??x21－1??x22－1?

　　∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0.又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，減函數；

　　②設1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝a?x2－x1??x1x2＋1??x21－1??x22－1?，∵1<x1<x2，∴x21－1>0，x22－1>0，x2－x1>0，x1x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴減函數；

　　又函數f(x)是奇函數，∴f(x)在(－∞，－1)上是減函數.則為減函數。

　　考點二．抽象函數單調性

　　（1）已知函數f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0時，f(x)<0，判斷f(x)單調性．

　　解：在R上任取x1，x2， 不妨設x1>x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0時，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是減函數．

　　考點三．求單調區間．

　　命題點1：圖像法

　　（1）分段函數：

　　（1）f(x)＝ ；       解：

　　（2）設函數f(x)＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)；

　　解：　g(x)＝x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1.如圖所示，其遞減區間是[0,1)．

　　（1）絕對值函數：

　　（1）y＝|－x2＋2x＋3|；        解： .

　　(2)y＝－x2＋2|x|＋3；    解：在(－∞，－1]，[0,1]上是增函數，在[－1,0]，[1，＋∞)上是減函數．

　　（3）  ;    解： ，增：（-2,0）和 ；減： 和 。

　　（4） （零點分段法）；   解： ，增： ；減： 。

　　（3）對號函數：

　　（1） ；   解：增： ；減： 。

　　命題點2：復合函數：

　　（1）y＝ x2＋x－6 ；

　　解：令u＝x2＋x－6，y＝ x2＋x－6∴y＝ x2＋x－6的單調減區間為(－∞，－3]，單調增區間為[2，＋∞).

　　(2)y＝log2(x2－1)；

　　解：y＝log2(x2－1)定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

　　∴當x∈(－∞，－1)時，y＝log2(x2－1)為減函數，當x∈(1，＋∞)時，y＝log2(x2－1)為增函數．

　　（3）y＝log (x2－3x＋2)

　　解：令u＝x2－3x＋2，則y＝log u．令u＝x2－3x＋2>0，則x<1或x>2.

　　故y＝log (x2－3x＋2)的單調減區間為(2，＋∞)，單調增區間為(－∞，1)．

　　（4）y= +5

　　解：令t= ，則y= +3t+5 ， y= +3t+5遞增區間：(-  , ） 遞減區間：( - , - )，  >0恒成立，所以原函數在定義域遞增。

　　考點四．由單調性比大小。

　　（1）已知函數f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，比較a，b，c的大小。

　　解：　函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，且在(1，＋∞)上是減函數．a＝f－12＝f52，所以b>a>c.

　　（2）比較： 的大小。

　　解：比較兩個指數冪大小時，盡量化同底數或同指數，當底數相同，指數不同時，構造同一指數函數，然后比較大小；當指數相同，底數不同時，構造兩個指數函數，利用圖象比較大小．故 。

　　(3)已知 ，比較a= ，b= ,c= 大小。

　　解：a與b可利用 單調遞減， ， b>a,又a與c可利用y=x單調遞增， ，則a>c,故b>a>c.

　　（4）比大小：    ①log323與log565；                 ②log1.10.7與log1.20.7.

　　解：(1)①∵log323<log31＝0，而log565>log51＝0，∴log323<log565.

　　②作出y＝log1.1x與y＝log1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與x＝0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.

　　考點五。二次函數單調性求參數

　　（1）若f(x)＝－x2＋2ax在區間[1,2]上是減函數，求a的取值范圍。

　　解： 利用二次函數動軸定區間，∴a≤1.

　　（2）若f(x)＝x2＋2（a-1）x+2在區間 上是增函數，求a的取值范圍。

　　解： 利用二次函數動軸定區間，∴1-a≤4，則a》-3.

　　考點六。分段函數單調性求參數

　　(1)已知 單調遞增區間為： ，求a的值。

　　解：由絕對值圖像2x+a=0,則a=-2x=-6.

　　（2）若f(x)＝ ，是R上的單調遞減函數，求a的取值范圍。

　　解：由已知得 解得a∈ ．

　　（3）若f(x)＝ ，是R上的單調遞增函數，求a的取值范圍。

　　解：由已知得 解得a∈ ．

　　（4）若f(x)＝ax?x>1?，4－a2x＋2?x≤1?是R上的單調遞增函數，求a的取值范圍。

　　解：由已知得a>1，4－a2>0，a≥4－a2＋2，解得a∈[4,8)．

　　（5）已知f(x)＝ 滿足對任意的實數x1≠x2都有 <0成立，求a的取值范圍。

　　解:R上為減函數，只需滿足3a－1<0，0<a<1，?3a－1?×1＋4a≥loga1，解得17≤a<13.

　　考點七，單調性與解不等式

　　（1）已知f(x)在R上單調遞減，且 ，求x的取值范圍。

　　解：由單調性知： ，則 ，即-1<x<1且x 0.

　　（2）若 ，且 ，求a的取值范圍。

　　解：畫分段函數圖象知f(x)為單調遞增函數，則 ，解的-2<a<1.

　　（3）已知f(x)是定義在（-1，1）上減函數，且 ，求a的取值范圍。

　　解： 。

　　考點七。單調性與恒成立

　　（1）g(x)＝ax＋1在區間[1,2]上是減函數，求a的取值范圍。

　　解： 《0在[1,2]上恒成立，則-a《0，當a=0時，函數不單調，（舍），即a>0.

　　（2）已知 ，對任意 ，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。

　　解：由題知： 。

　　（3）已知 ，對任意 ，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。

　　解：當a=0時，1>0成立；

　　當 ， ；綜上： 。

　　（4）已知函數f(x)＝x2＋2x＋ax,若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍．

　　解:f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)．要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a>- -2x，即a>－3．

　　（5）已知 ，對任意 ，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。

　　解：對任意 ， >0恒成立，則 ，

　　令 ,    ；

　　（6）函數 在 上是增函數，求 的取值范圍．

　　解：令 ，函數 在 上是增函數，∴ 在 上是增函數， ，∴ 且 在 上恒成立，得 ．

　　（7）若函數 在(-∞,+∞)單調遞增，則a的取值范圍是(    )

　　解： 》0恒成立，則 設t=cosx,即 ；

　　當t=0時，不等式顯然成立；

　　則 。方法二：(acosx)min=-|a|， 。

　　（8）f(x)= +alnx,對于任意的 > , 成立，求a的取值范圍。

　　解:定義域x>0, 等價于 ，即 ，

　　令g(x)=f(x)-2x,單調遞增，則 恒成立，即a》2x-2 ,故 。

　　（9）f(x)在R上是單調函數，對任意的x都有 恒成立，求 值。

　　解：令 ，則f(t)= .因f(x)在R上是單調函數，所以t=常數，即 恒為常數，則取x=t,即 。求得t=1,故t= + = +1=1，所以 =0