高二數學必修3第一章重難點：古典概型

　　高二數學必修3第一章重難點：古典概型

　　古典概型的基本概念

　　1.基本事件：在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件;

　　2.等可能基本事件：若在一次試驗中，每個基本事件發生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件;

　　3.古典概型：滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型 ①所有可能出現的基本事件只有有限個; ②每個基本事件出現的可能性相等;

　　4.古典概型的概率：如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發生的概率都是

　　1，如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發生的概率為nP(A)?m. n

　　知識點一：古典概型的基本概念

　　例1：從字母a,b,c,d中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件? 思路分析：

　　題意分析：本試題考查一次試驗中用列舉法列出所有基本事件的結果，而畫樹狀圖是列舉法的基本方法.

　　解題思路：為了了解基本事件，我們可以按照字典排序的順序，把所有可能的結果都列出來.或者利用樹狀圖將它們之間的關系列出來. 解答過程：解法一：所求的基本事件共有6個：

　　A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d}

　　解法二：樹狀圖

　　解題后的思考：用樹狀圖求解一次試驗中的基本事件數比較直觀、形象，可做到不重不漏.掌握列舉法，學會用數形結合、分類討論的思想解決概率的計算問題.

　　例2：(1)向一個圓面內隨機地投射一個點，如該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么?

　　(2)如圖，某同學隨機地向一靶心射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環、命中9環??命中5環和不中環.你認為這是古典概型嗎?為什么?

　　思路分析：

　　題意分析：本題考查古典概型的概念.應明確什么是古典概型及其應具備什么樣的條件. 解題思路：結合古典概型的兩個基本特征可進行判定解決. 解答過程：

　　答：(1)不是古典概型，因為試驗的所有可能結果是圓面內所有的點，試驗的所有可能結果數是無限的，雖然每一個試驗結果出現的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件.

　　(2)不是古典概型，因為試驗的所有可能結果只有7個，而命中10環、命中9環??命中5環和不中環的出現不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件.

　　解題后的思考：判定是不是古典概型，主要看兩個方面，一是實驗結果是不是有限的;另一個就是每個事件是不是等可能的.

　　例3：單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內容，他可以選擇唯一正確的答案.假設考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少? 思路分析：

　　題意分析：本題考查古典概型概率的求解運算.

　　解題思路：解本題的關鍵，即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型.如果考生掌握了全部或部分考查內容，這都不滿足古典概型的第2個條件——等可能性，因此，只有在假定考生不會做，隨機地選擇了一個答案的情況下，才可將此問題看作古典概型.

　　解答過程：這是一個古典概型，因為試驗的可能結果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個，考生隨機地選擇一個答案是選擇A，B，C，D的可能性是相等的.從而由古典概型的概率計算公式得：

　　P(答對\答對所包含的基本事件的個數1==0.25

　　基本事件的總數4解題后的思考：運用古典概型的概率公式求概率時，一定要先判定該試題是不是古典概型，然后明確試驗的總的基本事件數，和事件A發生的基本事件數，再借助于概率公式運算. 小結：本知識點的例題主要考查對古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的兩個特征是解決概率問題的第一個關鍵點;理解一次試驗中的所有基本事件數，和事件A發生的基本事件數，是解決概率問題的第二個關鍵點.

　　知識點二：古典概型的運用

　　例4：同時擲兩個骰子，計算： (1)一共有多少種不同的結果?

　　(2)其中向上的點數之和是5的結果有多少種? (3)向上的點數之和是5的概率是多少?

　　(4)為什么要把兩個骰子標上記號?如果不標記號會出現什么情況?你能解釋其中的原因嗎? 思路分析：

　　題意分析：本題考查了古典概型的基本運算問題.

　　解題思路：先分析“同時擲兩個骰子的所有事件數”，然后分析事件A：向上的點數之和為5的基本事件數，最后結合概率公式運算.同時可以運用舉一反三的思想自行設問、解答.

　　解答過程：

　　解：(1)擲一個骰子的結果有6種，我們把兩個骰子標上記號1，2以便區分，由于1號骰子的結果都可與2號骰子的任意一個結果配對，我們用一個“有序實數對”來表示組成同時擲兩個骰子的一個結果(如表)，其中第一個數表示擲1號骰子的結果，第二個數表示擲2號骰子的結果.(可由列表法得到) 1號骰子2號骰子1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456 由表中可知同時擲兩個骰子的結果共有36種. (2)在上面的結果中，向上的點數之和為5的結果有4種，分別為： (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)

　　(3)由于所有36種結果是等可能的，其中向上點數之和為5的結果(記為事件A)有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得

　　P(A)=A所包含的基本事件的個數41==

　　基本事件的總數369(4)如果不標上記號，類似于(1，2)和(2，1)的結果將沒有區別.這時，所有可能的結果將是：

　　(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5)(5，6)(6，6)共有21種，和是5的結果有2個，它們是(1，4)(2，3)，則所求的概率為

　　P(A)=A所包含的基本事件的個數2=

　　基本事件的總數21這就需要我們考察兩種解法是否滿足古典概型的要求了.可以通過展示兩個不同的骰子所拋擲出來的點，感受第二種方法構造的基本事件不是等可能事件.

　　解題后的思考：考查同學們運用古典概型的概率計算公式時應注意驗證所構造的基本事件是否滿足古典概型的第二個條件.

　　對于同時拋擲的問題，我們要將骰子編號，因為這樣就能反映出所有的情況，不至于把(1，2)和(2，1)看作相同的情況，保證基本事件的等可能性.我們也可將此試驗通過先后拋擲來解決，這樣就有順序了，則基本事件的出現也是等可能的.

　　例5：從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續取兩次，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率. 思路分析：

　　題意分析：本題考查的是不放回抽樣的古典概型概率的運用

　　解題思路：首先注意到該題中取出的過程是有順序的.同時明白一次試驗指的是“不放回的，連續的取兩次”.

　　先列舉出試驗中的所有基本事件數，然后求事件A的基本事件數，利用概率公式求解. 解答過程：

　　解法1：每次取出一個，取后不放回地連續取兩次，其一切可能的結果組成的基本事件有6個，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品，右邊的字母表示第2次取出的產品.

　　用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，則 A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)] 事件A由4個基本事件組成，因而P(A)=

　　42= 63解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x，y)記錄結果，則x有3種可能，y有2種可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以試驗的所有結果有3×2÷2=3種，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個數為2×1÷1=2，因此P(B)=

　　2 3解題后的思考：關于不放回抽樣，計算基本事件的個數時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結果是一樣的，但無論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導致錯誤.

　　例6：從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產品中，每次任取一件，每次取出后放回，連續取兩次，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率. 思路分析：

　　題意分析：本題考查放回抽樣的概率問題.

　　解題思路：首先注意到該題中取出的過程是有順序的.同時明白一次試驗指的是“有放回的，連續的取兩次”.

　　解答過程：每次取出一個后放回，連續取兩次，其一切可能的結果組成的基本事件有9個，即

　　(a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1) (a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2) (b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1)

　　其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品，右邊的字母表示第2次取出的產品. 用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，則 A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)] 事件A由4個基本事件組成，因此P(A)=

　　4. 9解題后的思考：對于有放回抽樣的概率問題我們要理解每次取的時候，總數是不變的，且同一個體可被重復抽取，同時，在求基本事件數時，要做到不重不漏. 小結：

　　(1)古典概型概率的計算公式是非常重要的一個公式，要深刻體會古典概型的概念及其概率公式的運用，為我們學好概率奠定基礎.

　　(2)體會求解不放回和有放回概率的題型.

　　知識點三：隨機數產生的方法及隨機模擬試驗的步驟

　　例7：某籃球愛好者，做投籃練習，假設其每次投籃命中的概率是40%，那么在連續三次投籃中，恰有兩次投中的概率是多少? 思路分析：

　　題意分析：本題考查的是近似計算非古典概型的概率.

　　解題思路：其投籃的可能結果有有限個，但是每個結果的出現不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式計算，我們用計算機或計算器做模擬試驗可以模擬投籃命中的概率為40%. 解答過程：

　　我們通過設計模擬試驗的方法來解決問題，利用計算機或計算器可以生產0到9之間的取整數值的隨機數.

　　我們用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，這樣可以體現投中的概率是40%.因為是投籃三次，所以每三個隨機數作為一組.

　　例如：產生20組隨機數：

　　812，932，569，683，271，989，730，537，925，488 907，113，966，191，431，257，393，027，556，458

　　這就相當于做了20次試驗，在這組數中，如果恰有兩個數在1，2，3，4中，則表示恰有兩次投中，它們分別是812，932，271，191，393，即共有5個數，我們得到了三次投籃中恰有兩次投中的概率近似為解題后的思考：

　　(1)利用計算機或計算器做隨機模擬試驗，可以解決非古典概型的概率的求解問題. (2)對于上述試驗，如果親手做大量重復試驗的話，花費的時間太多，因此利用計算機或計算器做隨機模擬試驗可以大大節省時間.

　　(3)隨機函數(RANDBETWEEN)(a，b)產生從整數a到整數b的取整數值的隨機數.

　　小結：能夠簡單的體會模擬試驗求解非古典概型概率的方法和步驟.高考對這部分內容不作更多的要求，了解即可.5=25%. 20