205年高考數學“刷題”的金字塔法則

　　

　　為了學好數學，“刷題”做練習幾乎是必經之路。“刷題”其實是提升數學知識技能熟練度的最有效手段之一。平時100次的“亡羊補牢”“思考掛念”是為換取考試是的1次“未卜先知”“心有靈犀”。

　　有很多同學曾經問過我這個問題：“我要怎樣才能學好數學?”當然，這個問題過于寬泛，無法回答，因此一般我會反問：“你認為怎么樣才算學好數學?”同學們對這個問題的回答有很多種，但最多的回答是：“考試的題目都會做。”那么可以這樣認為，大部分同學迫切需要提高數學方面的解題能力，今天我就來談談怎樣才能提高自己的解題能力。

　　在對解題的認知中，解題有四個階段，分別是解答、解析、解法、解釋，它們呈金字塔狀排列。每一個階段都是下一個階段的基礎，但不是每一個階段都會進入下一個階段。

　　1.解答就是想方設法把答案弄出來(包括猜)，然后給出合乎邏輯的說理過程。考試中考查的就是解答能力(對于選擇填空題甚至無需說理)。但是我們平時做題的目的不是為了得分，而是為了更好的透徹理解概念、積累梳理結論、研究掌握方法。這就意味著平時做題需要更進一步的解題，錯的題當然需要研究，已經做對了的題目也需要研究。也有同學在考試的時候追求“精確”、“嚴謹”、“通用”，這就犯了“沒有抓住主要矛盾”的錯誤。考試的時候就應該盡量的利用自己業已積累的經驗和直覺大刀闊斧的解答題目，很多邏輯上不甚嚴密也不打緊，可以放在試卷檢查的階段再補上。

　　2.解析就是將解答的步驟劃分成若干獨立的均有明確目的的階段，然后將每個階段都盡可能的優化。不能將一大段的解答過程劃分開來，就如同一篇文章無法劃分段落一樣，說明沒有抓住解題的脈絡。在回顧自己的解題過程時始終要問自己這樣幾個問題：“在這一步我究竟要做什么?要做的這件事情對整個問題的解決起到什么作用?這一步是不是必要的，有沒有更好的方式?”針對每一步推導都回答了這些問題，自然就可以順利的完成解題的解析階段。

　　在完成了標準的解析階段后，還有兩個小技巧可以幫助同學們提高。

　　一個技巧是“亡羊補牢”，也就是在知曉答案(包括獲得答案的每個細節)后，探索是否能夠直接看出答案，如果不能，探索是否能夠在完成解析的第一步后看出答案，……，依次探索下去.這樣做的目的是為了鍛煉大家的“注意到”的能力，平時100次的“亡羊補牢”，就是為了換取考試時1次的“未卜先知”。

　　另一個技巧是在完成對一道題目(尤其是難題)的解析后，為了防止以后自己忘記題目的做法，寫一個給自己的提示。在以后復習的過程中重新演算習題時，如果發現有題目做不出來了，可以看看自己的提示。提示寫的越簡潔，對自己的提示效果越好，說明自己的總結能力越強。我把這個方法稱為“笑忘書”，因為這首王菲的歌的歌詞中有這么一句：“將這樣的感觸/寫一封情書/送給我自己”。

　　3.接下來談的是解題的第三個階段——解法。很多題目在完成了解析之后，我們可能會發現這些題目可能條件有不同，探究的問題有不同，但是解析的各個階段有相同的部分，這時候我們就可以從中提煉出解法來。有的時候，也可以通過自己改變題目中的部分條件來達到相同的效果。這樣提煉出的解法才是真正屬于自己的解法，因為我們清楚的知道某個解法能解決那些核心困難，它又有什么致命缺陷，這樣才可以判斷出什么題目可以用這個解法，而什么題目不可以。當然，這些認識是會隨著解題經驗的積累而逐漸深刻的，很多解法通過改良就可以適用于原先我們認為不可以使用的情形。跟著好的老師學習可以提高解法的掌握效率，但是不能代替自己的實戰積累。

　　4.最后要說的是解題的最高階段——解釋。這個階段是最為飄渺神秘的，也是讓人最能得到解題的快樂的。當我們掌握了很多具體的解法以后，可以嘗試用一些理論來整合它們，使它們的存在更加的“理所當然”。就比如我從一元二次方程這樣的基本概念出發提出的代數變形的“元”、“次”、“形”三要素理論，就可以解釋很多不同的解法.這些理論其實在很多書中都能發現蹤影，正所謂殊途同歸、大道歸一。不同的人悟道的方式大不相同，但最后都能找到相通之處，這就是解釋。

　　學霸解題的思維流程

　　(1)對于大部分題目，可能有個40%、50%吧，比例是我大概估計一下的，其實因為做過太多類似的題目，所以直接就瞬間解掉了。

　　比如高考的第一道選擇題，集合題，你要談什么“數學思維”嗎?

　　所以，做過、見過類似的題目，這個是根基。

　　解題不可能是“無源之水無本之木”的。

　　所以，看到題目的第一瞬間，一定是“是否見過這道題”或“是否見過類似的題目”，只不過這個思路太快，所以被忽略了。

　　(2)有30%的題目，大概是“可以通過轉化，很快歸到已經做過的類似題目”上。

　　我想起一個笑話，說有個數學家失業了，去當消防員。經過一段時間的培訓，然后總管考他：“如果有個房子著火了，按照什么步驟去滅火?”這個數學家很流利的回答出來了。

　　總管很滿意，就開了個玩笑，問數學家：“那么如果你看到一個沒有著火的房子呢?”

　　數學家說：“那我就把它點著了，這樣就轉化成一個已知的問題了。”

　　雖然是笑話，但我覺得，其實解題的時候的思維方式，就是這樣。

　　這些題目，雖然表面有一些不同，但很容易用“模型”進行控制。

　　不過是繞了個彎而已。

　　而學得好的人，是這樣的思維的：轉化一步，“啪”就到了自己熟悉的題目上了。

　　學得差的人，是這樣的：轉化一步，不認識;再轉化一步，還是不認識;再轉化一步……

　　在實戰中，如果是這樣，那么這往往已經開始走錯方向了，甚至開始往回走了。

　　(3)最后大概有20%的比例的題目，可能是真考察數學思維的。

　　但我覺得高考試卷中，真正的比例要比20%小。

　　比如解析幾何的題目，只要不出在壓軸題，我覺得是考計算能力和熟練度的，和數學思維也沒啥關系。

　　選擇題和填空題的最后一題，以及最后的壓軸題，也只是有一定的概率會出到所謂的考查“數學思維”而已，50%?比例說不準。

　　那么，最后算下來，我估計，大概有10%的題目是真需要動腦子去想的，這個時候各種思維都有可能用上，什么轉化、圖形結合亂七八糟的。

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