高中數(shù)學解析幾何解題方法

　　高中數(shù)學解析幾何解題方法我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢：

　　(1)題型穩(wěn)定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩(wěn)定在三(或二)個選擇題，一個填空題，一個解答題上，占總分值的20%左右。

　　(2)整體平衡，重點突出：其中對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時既留意全面，更留意突出重點，對支撐數(shù)學科知識體系的主干知識，考查時保證較高的比例并保持必要深度。近幾年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個類型：

　　① 求曲線方程(類型確定、類型未定)；

　　②直線與圓錐曲線的交點題目(含切線題目)；

　　③與曲線有關(guān)的最(極)值題目；

　　④與曲線有關(guān)的幾何證實(對稱性或求對稱曲線、平行、垂直)；

　　⑤探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)目特征；

　　(3)能力立意，滲透數(shù)學思想：一些雖是常見的基本題型，但假如借助于數(shù)形結(jié)合的思想，就能快速正確的得到答案。

　　(4)題型新奇，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計算量減少，思考量增大。加大與相關(guān)知識的聯(lián)系(如向量、函數(shù)、方程、不等式等)，凸現(xiàn)教材中研究性學習的能力要求。加大探索性題型的分量。

　　在近年高考中，對直線與圓內(nèi)容的考查主要分兩部分：

　　(1)以選擇題題型考查本章的基本概念和性質(zhì)，此類題一般難度不大，但每年必考，考查內(nèi)容主要有以下幾類：

　　①與本章概念(傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線性規(guī)劃等)有關(guān)的題目；

　　②對癡光目(包括關(guān)于點對稱，關(guān)于直線對稱)要熟記解法；

　　③與圓的位置有關(guān)的題目，其常規(guī)方法是研究圓心到直線的間隔.

　　以及其他“標準件”類型的基礎(chǔ)題。

　　(2)以解答題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，此類題綜合性比較強，難度也較大。

　　預計在今后一、二年內(nèi)，高考對本章的考查會保持相對穩(wěn)定，即在題型、題量、難度、重點考查內(nèi)容等方面不會有太大的變化。

　　相比較而言，圓錐曲線內(nèi)容是平面解析幾何的核心內(nèi)容，因而是高考重點考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀題和一道解答題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，直線與圓錐的位置關(guān)系等，從近十年高考試題看大致有以下三類：

　　(1)考查圓錐曲線的概念與性質(zhì)；

　　(2)求曲線方程和求軌跡；

　　(3)關(guān)于直線與圓及圓錐曲線的位置關(guān)系的題目.

　　選擇題主要以橢圓、雙曲線為考查對象，填空題以拋物線為考查對象，解答題以考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為主，對于求曲線方程和求軌跡的題，高考一般不給出圖形，以考查學生的想象能力、分析題目的能力，從而體現(xiàn)解析幾何的基本思想和方法，圓一般不單獨考查，總是與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn).解析幾何的解答題一般為困難，近兩年都考查了解析幾何的基本方法——坐標法以及二次曲線性質(zhì)的運用的命題趨向要引起我們的重視.

　　請同學們留意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質(zhì).從近兩年的試題看，解析幾何題有前移的趨勢，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.參數(shù)方程是研究曲線的輔助工具.高考試題中，涉及較多的是參數(shù)方程與普通方程互化及等價變換的數(shù)學思想方法。

　　考查的重點要落在軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往是通過直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立、消元，借助于韋達定理代人、向量搭橋建立等量關(guān)系。考查題型涉及的知識點題目有求曲線方程題目、參數(shù)的取值范圍題目、最值題目、定值題目、直線過定點題目、對癡光目等，所以我們要把握這些題目的基本解法。

　　命題特別留意對思維嚴密性的考查，解題時需要留意考慮以下幾個題目：

　　1、設(shè)曲線方程時看清焦點在哪條坐標軸上；留意方程待定形式及參數(shù)方程的使用。

　　2、直線的斜率存在與不存在、斜率為零，相交題目留意“D”的影響等。

　　3、命題結(jié)論給出的方式：搞清題目所給的幾個小題是并列關(guān)系還是遞進關(guān)系。假如前后小題各自有強化條件，則為并列關(guān)系，前面小題結(jié)論后面小題不能用；不過考題經(jīng)常給出的是遞進關(guān)系，有(1)、第一問求曲線方程、第二問討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，(2)第一問求離心率、第二問結(jié)合圓錐曲線性質(zhì)求曲線方程，(3)探索型題目等。解題時要根據(jù)不同情況考慮施加不同的解答技巧。

　　4、題目條件如與向量知識結(jié)合，也要留意向量的給出形式：

　　(1)、直接反映圖形位置關(guān)系和性質(zhì)的，如？=0，=( )，λ，以及過三角形“四心”的向量表達式等；

　　(2)、=λ：假如已知M的坐標，按向量展開；假如未知M的坐標，按定比分點公式代進表示M點坐標。

　　(3)、若題目條件由多個向量表達式給出，則考慮其圖形特征(數(shù)形結(jié)合)。

　　5、考慮圓錐曲線的第一定義、第二定義的區(qū)別使用，留意圓錐曲線的性質(zhì)的應(yīng)用。

　　6、留意數(shù)形結(jié)合，特別留意圖形反映的平面幾何性質(zhì)。

　　7、解析幾何題的另一個考查的重點就是學生的基本運算能力，所以解析幾何考題學生普遍感覺較難對付。為此我們有必要在平常的解題變形的過程中，發(fā)現(xiàn)積累一些式子的常用變形技巧，如假分式的分離技巧，對癡規(guī)換的技巧，構(gòu)造對稱式用韋達定理代進的技巧，構(gòu)造均值不等式的變形技巧等，以便提升解題速度。

　　8、平面解析幾何與平面向量都具有數(shù)與形結(jié)合的特征，所以這兩者多有結(jié)合，在它們的知識點交匯處命題，也是高考命題的一大亮點.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目是常考常新、經(jīng)久不衰的一個考查重點，另外，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍題目、最值題目、定值題目、對癡光目等綜合性題目也是高考的常考題型.解析幾何題一般來說計算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細算”，近幾年解析幾何題目的難度有所降低，但還是一個綜合性較強的題目，對考生的意志品質(zhì)和數(shù)學機智都是一種考驗，是高考試題中區(qū)分度較大的一個題目，有可能作為今年高考的一個壓軸題出現(xiàn).

　　例1已知點A(-1，0)，B(1，-1)和拋物線.，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖.

　　(1)若△POM的面積為，求向量與的夾角。

　　(2)試證實直線PQ恒過一個定點。

　　高考命題雖說千變?nèi)f化，但只要找出相應(yīng)的一些規(guī)律，我們就大膽地猜想高考解答題命題的一些思路和趨勢，指導我們后面的溫習。對待高考，我們應(yīng)該采取正確的態(tài)度，再大膽猜測的同時，更要注重基礎(chǔ)知識的進一步鞏固，多做一些簡單的綜合練習，進步自己的解題能力.

　　一、高考溫習建議：

　　本章內(nèi)容是高考重點考查的內(nèi)容，在每年的高考考試卷中占總分的15%左釉冬分值一直保持穩(wěn)定，一般有2-3道客觀題和一道解答題。選擇題、填空題不僅重視基礎(chǔ)知識和基本方法，而且具有一定的靈活性與綜合性，難度以中檔題居多，解答題注重考生對基本方法，數(shù)學思想的理解、把握和靈活運用，綜合性強，難度較大，常作為把關(guān)題或壓軸題，其重點是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求曲線方程，關(guān)于圓錐曲線的最值題目。考查數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、函數(shù)與方程、邏輯推理諸方面的能力，對思維能力、思維方法的要求較高。

　　近幾年，解析幾何考查的熱門有以下幾個

　　――求曲線方程或點的軌跡

　　――求參數(shù)的取值范圍

　　――求值域或最值

　　――直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

　　以上幾個題目往往是相互交叉的，例如求軌跡方程時就要考慮參數(shù)的范圍，而參數(shù)范圍題目或者最值題目，又要結(jié)合直線與圓錐曲線關(guān)系進行。

　　總結(jié)近幾年的高考試題，溫習時應(yīng)留意以下題目：

　　1、重點把握橢圓、雙曲線、拋物線的定義或性質(zhì)

　　這是由于橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)是本章的基石，高考所考的題目都要涉及到這些內(nèi)容，要善于多角度、多層次不斷鞏固強化三基，努力促進知識的深化、升華。

　　2、重視求曲線的方程或曲線的軌跡

　　曲線的方程或軌跡題目往往是高考解答題的命題對象，而且難度較大，所以要把握求曲線的方程或曲線的軌跡的一般方法：定義法、直接法、待定系數(shù)法、代進法(中間變量法)、相關(guān)點法等，還應(yīng)留意與向量、三角等知知趣結(jié)合。

　　3、加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目的溫習

　　由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱門，這類題目常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直題目，因此分析題目時利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系往解決題目，這樣就加強了對數(shù)學各種能力的考查，其中著力抓好“運算關(guān)”，增強抽象運算與變形能力。解析幾何的解題思路輕易分析出來，往往由于運算不過關(guān)中途而廢，在學習過程中，應(yīng)當通過解題，尋求公道運算方案，以及簡化運算的基本途徑和方法，親身經(jīng)歷運算困難的發(fā)生與克服困難的完整過程，增強解決復雜題目的信心。

　　4、重視對數(shù)學思想、方法進行回納提煉，達到優(yōu)化解題思路，簡化解題過程的目的。

　　用好方程思想。解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長題目利用韋達定理進行整體處理，就可簡化解題運算量。

　　用好函數(shù)思想，把握坐標法。

　　二、知識梳理

　　●求曲線方程或點的軌跡

　　求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一，是高考中的一個熱門和重點，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，特別是當今高考的改革以考查學生的創(chuàng)新意識為突破口，注重考查學生的邏輯思維能力、運算能力、分析題目和解決題目的能力，而軌跡方程這一熱門，則能很好地反映學生在這些方面能力的把握程度。

　　下面先容幾種常用的方法

　　(1) 直接法：動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x、粉底液哪個牌子好y的等式就得到曲線軌跡方程。

　　(2) 定義法：其動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據(jù)定義直接求出動點的軌跡方程。

　　(3) 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)(如線段中垂線、角平分線性質(zhì)等)，可以用幾何法，列出幾何式，再代進點的坐標較簡單。

　　(4) 相關(guān)點法(代進法)：有些題目中，某動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱為相關(guān)點)而運動的，假如相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標，再把相關(guān)點代進其所滿足的方程，即可求得動點的軌跡方程。

　　(5) 參數(shù)法：有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點，但卻較易發(fā)現(xiàn)這個動點的運動經(jīng)常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距)等的制約，即動點坐標(x、y)中的x、y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法。消往參數(shù)，即可得到軌跡普通方程。選定參變量要特別留意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響。

　　(6) 交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡題目，這類題目常通過解方程組得出交點(含參數(shù))的坐標，再消往參數(shù)求出所求軌跡方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。

　　●求參數(shù)范圍題目

　　在解析幾何題目中，常用到參數(shù)來刻劃點和曲線的運動和變化，對于參變量范圍的討論，則需要用到變與不變的相互轉(zhuǎn)化，需要用函數(shù)和變量往思考，因此要用函數(shù)和方程的思想作指導，利用已知變量的取值范圍以及方程的根的狀況求出參數(shù)的取值范圍。

　　例1、已知橢圓C： 試確定m的范圍，使得對于直線l： y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點關(guān)于直線 l 對稱。

　　例2、已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A(1，0)，點P、Q在雙曲線的右支上，點M (m ， 0 ) 到直線AP的間隔為1，

　　(1)若直線AP的斜率為k ，且 ，求實數(shù) m 的取值范圍

　　(2)當 時，ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點M，求此雙曲線的方程

　　●值域和最值題目

　　與解析幾何有關(guān)的函數(shù)的值域或弦長、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函數(shù)的綜合題目，需要以函數(shù)為工具來處理。

　　解析幾何中的最值題目，一般是根據(jù)條件列出所求目標――函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值。另外，還可借助圖形，利用數(shù)形結(jié)正當求最值。

　　例1、如圖，已知拋物線 y2 = 4x 的頂點為O，點A 的坐標為(5，0)，傾斜角為π/4的直線 l 與線段OA相交(不過O點或A點)，且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線的方程，并求△AMN的最大面積。

　　●直線與圓錐曲線關(guān)系題目

　　1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目，從代數(shù)角度轉(zhuǎn)化為一個方程組實解個數(shù)研究(如能數(shù)形結(jié)合，可借助圖形的幾何性質(zhì)則較為簡便)。即判定直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，可將直線方程帶進曲線C的方程，消往y(有時消往x更方便)，得到一個關(guān)于x的一元方程 ax2 + bx + c = 0

　　當a=0時，這是一個一次方程，若方程有解，則 l 與C相交，此時只有一個公共點。若C為雙曲線，則 l 平行與雙曲線的漸進線；若C為拋物線，則 l 平行與拋物線的對稱軸。所以當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時，直線和雙曲線、拋物線可能相交，也可能相切。

　　當 a≠0 時，若Δ>0 l與C相交

　　Δ=0 l與C相切

　　Δ<0 l與C相離

　　2、涉及圓錐曲線的弦長，一般用弦長公式結(jié)合韋達定理求解。

　　解決弦中點有兩種常用辦法：一是利用韋達定理及中點坐標公式；二是利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系(點差法)

　　中點弦題目就是當直線與圓錐曲線相交時，得到一條顯冬進一步研究弦的中點的題目. 中點弦題目是解析幾何中的重點和熱門題目，在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn). 解決圓錐曲線的中點弦題目，“點差法”是一個行之有效的方法，“點差法”顧名思義是代點作差的辦法. 其步驟可扼要地敘述為：①設(shè)出弦的兩個端點的坐標；②將端點的坐標代進圓錐曲線方程相減；③得到弦的中點坐標與所在直線的斜率的關(guān)系，從而求出直線的方程；④ 作簡

　　要的檢驗. 本文試圖通過對一道高考試題解法的探討，談點個人見解.

　　一、高考試題

　　橢圓C： + = 1(a> b > 0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=， |PF2| = .

　　(1) 求橢圓C的方程；

　　(2) 若直線l過圓x2 + y2 + 4x - 2y = 0 的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，竊讀，B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程.

　　二、解題思路

　　第(1)題的解法不再贅述，答案是：+ = 1，在此基礎(chǔ)上研究第(2)題的解法.

　　1. 運用方程組的思路

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，已知圓的方程為(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5，所以圓心M的坐標為(-2，1)，從而可設(shè)直線l的方程為：y= k(x+ 2)+1.

　　∴y= k(x+ 2)+ 1，+=1.消y得

　　(4 + 9k2)x2 + (36k2 + 18k)x + 36k2 + 36k - 27 = 0.

　　∵ A，B關(guān)于點M對稱，

　　∴ = - = -2，解得 k =.

　　∴ 直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0.

　　2. 運用“點差法”的思路

　　已知圓的方程為(x+ 2)2+ (y- 1)2= 5，所以圓心M的坐標為(-2，1).

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意x1≠x2且

　　+ = 1(1)+= 1(2)

　　由(1)- (2)得

　　+ = 0(3)

　　由于A，B關(guān)于點M對稱，所以x1 + x2 = -4，y1 + y2 = 2，代進(3)得 k1 = =，所以，直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0. 經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.

　　三、對兩種思路的熟悉

　　思路1運算較復雜，尤其是消元得到方程這一步，很多學生是不能順利過關(guān)的；思路2運算較簡潔，學生易把握. 對于兩種思路都必須分析到：直線l經(jīng)過圓心，而且圓心是弦的中點. 這些方法在考題中經(jīng)常有所涉及.

　　四、對“點差法”的思考

　　1. “點差法”使用條件的反思

　　“點差法”使用起來較為簡潔，那么使用“點差法”的條件是什么？

　　假設(shè)一條直線與曲線mx2 + ny2 = 1(n，m是不為零的常數(shù)，且不同時為負數(shù))相交于A，B兩點，設(shè)A(x1，x2)，B(x2，y2)，則mx12 + ny12= 1，mx22 + ny22 = 1， 兩式相減有：m(x1 - x2)(x1 + x2) = -n(y1 - y2)(y1 + y2). 其中x1+x2與y1 + y2和線段AB的中點坐標有關(guān)； 為AB的斜率. 由此可見，知道其中一個可以求出另外一個，意思是說：要用“點差法”，需知道AB的中點和AB的斜率之一才可求另一個. 然后進行扼要的檢驗.

　　2. 先容一種處理中點弦題目時的巧妙的獨到的解法

　　例題 已知雙曲線x2 - = 1，問是否存在直線l，使得M(1，1)為直線l被雙曲線所截弦AB的中點.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

　　由題意得M(1，1)為顯讀B的中點，可設(shè)A(1+ s，1+ t)，B(1- s，1- t)，(s，t∈T訂，由于A，B，M不重合可知， s，t不全為零. 又點A，B在雙曲線x2-= 1上，將點的坐標代進方程得

　　(1+ s)2-= 1(1)(1- s)2-= 1(2)

　　(1)+ (2) 可得s2= t2 (3)

　　(1)- (2) 可得t = 2s (4)

　　將(4)代進(3)可得s= 0，t= 0，不可能，故不存在這樣的直線.

　　這里我們回納一下解題思路：

　　已知直線l與圓錐曲線：ax2 + by2 = 1(a，b使得方程為圓錐曲線)相交于A，B兩點，設(shè)中點為M(m，n)，求直線l方程.

　　解題思路 設(shè)A(m+ s，n+ t)，B(m - s，n - t)， (s，t∈T訂，由于A，B，M不重合可知，s，t不全為零. 又點A，B在雙曲線ax2 + by2 = 1上，將點的坐標代進方程得a(m + s)2- b(n+ t)2= 1， a(m-s)2 - b(n- t)2= 1.解得：ams = bnt，am2 +s2 = bn2 + t2. (由于這里全是字母運算，表達式復雜，不再求出所有的表達式的具體形式，只是談一下思路)進一步解出s，t的值，從而知道A，B的坐標，運用兩點式求出直線l的方程。