高三數學解析幾何考點解析

　　高中數學幾何題解題技巧我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢：

　　(1)題型穩定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩定在三(或二)個選擇題，一個填空題，一個解答題上，占總分值的20%左右。

　　(2)整體平衡，重點突出：其中對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時既留意全面，更留意突出重點，對支撐數學科知識體系的主干知識，考查時保證較高的比例并保持必要深度。近幾年新教材高考對解析幾何內容的考查主要集中在如下幾個類型：

　　① 求曲線方程(類型確定、類型未定)；

　　②直線與圓錐曲線的交點題目(含切線題目)；

　　③與曲線有關的最(極)值題目；

　　④與曲線有關的幾何證實(對稱性或求對稱曲線、平行、垂直)；

　　⑤探求曲線方程中幾何量及參數間的數目特征；

　　(3)能力立意，滲透數學思想：一些雖是常見的基本題型，但假如借助于數形結合的思想，就能快速正確的得到答案。

　　(4)題型新奇，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計算量減少，思考量增大。加大與相關知識的聯系(如向量、函數、方程、不等式等)，凸現教材中研究性學習的能力要求。加大探索性題型的分量。

　　在近年高考中，對直線與圓內容的考查主要分兩部分：

　　(1)以選擇題題型考查本章的基本概念和性質，此類題一般難度不大，但每年必考，考查內容主要有以下幾類：

　　①與本章概念(傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線性規劃等)有關的題目；

　　②對癡光目(包括關于點對稱，關于直線對稱)要熟記解法；

　　③與圓的位置有關的題目，其常規方法是研究圓心到直線的間隔.

　　以及其他“標準件”類型的基礎題。

　　(2)以解答題考查直線與圓錐曲線的位置關系，此類題綜合性比較強，難度也較大。

　　預計在今后一、二年內，高考對本章的考查會保持相對穩定，即在題型、題量、難度、重點考查內容等方面不會有太大的變化。

　　相比較而言，圓錐曲線內容是平面解析幾何的核心內容，因而是高考重點考查的內容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀題和一道解答題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內容是圓錐曲線的概念和性質，直線與圓錐的位置關系等，從近十年高考試題看大致有以下三類：

　　(1)考查圓錐曲線的概念與性質；

　　(2)求曲線方程和求軌跡；

　　(3)關于直線與圓及圓錐曲線的位置關系的題目.

　　選擇題主要以橢圓、雙曲線為考查對象，填空題以拋物線為考查對象，解答題以考查直線與圓錐曲線的位置關系為主，對于求曲線方程和求軌跡的題，高考一般不給出圖形，以考查學生的想象能力、分析題目的能力，從而體現解析幾何的基本思想和方法，圓一般不單獨考查，總是與直線、圓錐曲線相結合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現.解析幾何的解答題一般為困難，近兩年都考查了解析幾何的基本方法——坐標法以及二次曲線性質的運用的命題趨向要引起我們的重視.

　　請同學們留意圓錐曲線的定義在解題中的應用，留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質.從近兩年的試題看，解析幾何題有前移的趨勢，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.參數方程是研究曲線的輔助工具.高考試題中，涉及較多的是參數方程與普通方程互化及等價變換的數學思想方法。

　　考查的重點要落在軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關系，往往是通過直線與圓錐曲線方程的聯立、消元，借助于韋達定理代人、向量搭橋建立等量關系。考查題型涉及的知識點題目有求曲線方程題目、參數的取值范圍題目、最值題目、定值題目、直線過定點題目、對癡光目等，所以我們要把握這些題目的基本解法。

　　命題特別留意對思維嚴密性的考查，解題時需要留意考慮以下幾個題目：

　　1、設曲線方程時看清焦點在哪條坐標軸上；留意方程待定形式及參數方程的使用。

　　2、直線的斜率存在與不存在、斜率為零，相交題目留意“D”的影響等。

　　3、命題結論給出的方式：搞清題目所給的幾個小題是并列關系還是遞進關系。假如前后小題各自有強化條件，則為并列關系，前面小題結論后面小題不能用；不過考題經常給出的是遞進關系，有(1)、第一問求曲線方程、第二問討論直線和圓錐曲線的位置關系，(2)第一問求離心率、第二問結合圓錐曲線性質求曲線方程，(3)探索型題目等。解題時要根據不同情況考慮施加不同的解答技巧。

　　4、題目條件如與向量知識結合，也要留意向量的給出形式：

　　(1)、直接反映圖形位置關系和性質的，如？=0，=( )，λ，以及過三角形“四心”的向量表達式等；

　　(2)、=λ：假如已知M的坐標，按向量展開；假如未知M的坐標，按定比分點公式代進表示M點坐標。

　　(3)、若題目條件由多個向量表達式給出，則考慮其圖形特征(數形結合)。

　　5、考慮圓錐曲線的第一定義、第二定義的區別使用，留意圓錐曲線的性質的應用。

　　6、留意數形結合，特別留意圖形反映的平面幾何性質。

　　7、解析幾何題的另一個考查的重點就是學生的基本運算能力，所以解析幾何考題學生普遍感覺較難對付。為此我們有必要在平常的解題變形的過程中，發現積累一些式子的常用變形技巧，如假分式的分離技巧，對癡規換的技巧，構造對稱式用韋達定理代進的技巧，構造均值不等式的變形技巧等，以便提升解題速度。

　　8、平面解析幾何與平面向量都具有數與形結合的特征，所以這兩者多有結合，在它們的知識點交匯處命題，也是高考命題的一大亮點.直線與圓錐曲線的位置關系題目是常考常新、經久不衰的一個考查重點，另外，圓錐曲線中參數的取值范圍題目、最值題目、定值題目、對癡光目等綜合性題目也是高考的常考題型.解析幾何題一般來說計算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細算”，近幾年解析幾何題目的難度有所降低，但還是一個綜合性較強的題目，對考生的意志品質和數學機智都是一種考驗，是高考試題中區分度較大的一個題目，有可能作為今年高考的一個壓軸題出現.

　　知識梳理：

　　●求曲線方程或點的軌跡

　　求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一，是高考中的一個熱門和重點，在歷年高考中出現的頻率較高，特別是當今高考的改革以考查學生的創新意識為突破口，注重考查學生的邏輯思維能力、運算能力、分析題目和解決題目的能力，而軌跡方程這一熱門，則能很好地反映學生在這些方面能力的把握程度。

　　高中數學幾何題解題技巧下面先容幾種常用的方法

　　(1) 直接法：動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，我們只需把這種關系“翻譯”成含x、粉底液哪個牌子好y的等式就得到曲線軌跡方程。

　　(2) 定義法：其動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據定義直接求出動點的軌跡方程。

　　(3) 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(如線段中垂線、角平分線性質等)，可以用幾何法，列出幾何式，再代進點的坐標較簡單。

　　(4) 相關點法(代進法)：有些題目中，某動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱為相關點)而運動的，假如相關點所滿足的條件是明顯的，這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，再把相關點代進其所滿足的方程，即可求得動點的軌跡方程。

　　(5) 參數法：有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發現這個動點的運動經常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距)等的制約，即動點坐標(x、y)中的x、y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個變量為參數，建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法。消往參數，即可得到軌跡普通方程。選定參變量要特別留意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響。

　　(6) 交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡題目，這類題目常通過解方程組得出交點(含參數)的坐標，再消往參數求出所求軌跡方程，該法經常與參數法并用。

　　●求參數范圍題目

　　在解析幾何題目中，常用到參數來刻劃點和曲線的運動和變化，對于參變量范圍的討論，則需要用到變與不變的相互轉化，需要用函數和變量往思考，因此要用函數和方程的思想作指導，利用已知變量的取值范圍以及方程的根的狀況求出參數的取值范圍。

　　例1、已知橢圓C： 試確定m的范圍，使得對于直線l： y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點關于直線 l 對稱。

　　例2、已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A(1，0)，點P、Q在雙曲線的右支上，點M (m ， 0 ) 到直線AP的間隔為1，

　　(1)若直線AP的斜率為k ，且 ，求實數 m 的取值范圍

　　(2)當 時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程

　　●值域和最值題目

　　與解析幾何有關的函數的值域或弦長、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函數的綜合題目，需要以函數為工具來處理。

　　解析幾何中的最值題目，一般是根據條件列出所求目標――函數的關系式，然后根據函數關系式的特征選用參數法、配方法、判別式法，應用不等式的性質，以及三角函數最值法等求出它的最大值或最小值。另外，還可借助圖形，利用數形結正當求最值。

　　例1、如圖，已知拋物線 y2 = 4x 的頂點為O，點A 的坐標為(5，0)，傾斜角為π/4的直線 l 與線段OA相交(不過O點或A點)，且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線的方程，并求△AMN的最大面積。

　　●直線與圓錐曲線關系題目

　　1、直線與圓錐曲線的位置關系題目，從代數角度轉化為一個方程組實解個數研究(如能數形結合，可借助圖形的幾何性質則較為簡便)。即判定直線與圓錐曲線C的位置關系時，可將直線方程帶進曲線C的方程，消往y(有時消往x更方便)，得到一個關于x的一元方程 ax2 + bx + c = 0

　　當a=0時，這是一個一次方程，若方程有解，則 l 與C相交，此時只有一個公共點。若C為雙曲線，則 l 平行與雙曲線的漸進線；若C為拋物線，則 l 平行與拋物線的對稱軸。所以當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時，直線和雙曲線、拋物線可能相交，也可能相切。

　　當 a≠0 時，若Δ>0 l與C相交

　　Δ=0 l與C相切

　　Δ<0 l與C相離

　　2、涉及圓錐曲線的弦長，一般用弦長公式結合韋達定理求解。

　　解決弦中點有兩種常用辦法：一是利用韋達定理及中點坐標公式；二是利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率的關系(點差法)

　　中點弦題目就是當直線與圓錐曲線相交時，得到一條顯冬進一步研究弦的中點的題目. 中點弦題目是解析幾何中的重點和熱門題目，在高考試題中經常出現. 解決圓錐曲線的中點弦題目，“點差法”是一個行之有效的方法，“點差法”顧名思義是代點作差的辦法. 其步驟可扼要地敘述為：①設出弦的兩個端點的坐標；②將端點的坐標代進圓錐曲線方程相減；③得到弦的中點坐標與所在直線的斜率的關系，從而求出直線的方程；④ 作簡要的檢驗. 本文試圖通過對一道高考試題解法的探討，談點個人見解.