數學邏輯用語匯編：充分條件與必要條件系(2)

　　16.（本小題滿分13分）

　　解：（Ⅰ）∵ ，a2-a1=2，但a3-a2=-1≠2，數列{an}不具有性質P（2）；

　　同理可得，數列{an}具有性質P（4）．

　�。á颍�（不充分性）對于周期數列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={-1，0，1}是有限集，但是由于a2-a1=0，a3-a2=1，

　　所以不具有性質P（0）；

　　（必要性）因為數列{an}具有性質P（0），

　　所以一定存在一組最小的且m＞k，滿足am-ak=0，即am=ak

　　由性質P（0）的含義可得am+1=ak+1，am+2=ak+2，…，a2m-k-1=am-1，a2m-k=am，…

　　所以數列{an}中，從第k項開始的各項呈現周期性規律：ak，ak+1，…，am-1為一個周期中的各項，

　　所以數列{an}中最多有m-1個不同的項，

　　所以T最多有 個元素，即T是有限集．

　�。á螅┮驗閿盗衶an}具有性質P（2），數列{an}具有性質P（5），

　　所以存在M′、N′，使得aM'+p-aM'=2，aN'+q-aN'=5，其中p，q分別是滿足上述關系式的最小的正整數，

　　由性質P（2），P（5）的含義可得，aM'+p+k-aM'+k=2，aN'+q+k-aN'+k=5，

　　若M'＜N'，則取k=N'-M'，可得aN'+p-aN'=2；

　　若M'＞N'，則取k=M'-N'，可得aM'+q-aM'=5．

　　記M=max{M'，N'}，則對于aM，有aM+p-aM=2，aM+q-aM=5，顯然p≠q，

　　由性質P（2），P（5）的含義可得，aM+p+k-aM+k=2，aN+q+k-aN+k=5，

　　所以aM+qp-aM=（aM+qp-aM+（q-1）p）+（aM+（q-1）p-aM+（q-2）p）+…+（aM+p-aM）=2qaM+qp-aM=（aM+pq-aM+（p-1）q）+（aM+（p-1）q-aM+（p-2）q）+…+（aM+q-aM）=5p

　　所以aM+qp=aM+2q=aM+5p．

　　所以2q=5p，

　　又p，q是滿足aM+p-aM=2，aM+q-aM=5的最小的正整數，

　　所以q=5，p=2，aM+2-aM=2，aM+5-aM=5，

　　所以，aM+2+k-aM+k=2，aM+5+k-aM+k=5，

　　所以，aM+2k=aM+2（k-1）+2=…=aM+2k，aM+5k=aM+5（k-1）+5=…=aM+5k，

　　取N=M+5，則，

　　所以，若k是偶數，則aN+k=aN+k；

　　若k是奇數，則aN+k=aN+5+（k-5）=aN+5+（k-5）=aN+5+（k-5）=aN+k，

　　所以，aN+k=aN+k

　　所以aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是公差為1的等差數列．

　　17.解：對于集合A，由m2-am＜12a2，故（m-4a）（m+3a）＜0，

　　對于集合B，解 ，解得：-4＜m＜2；

　　①a＞0時，集合A：-3a＜m＜4a，

　　若"m∈A"是"m∈B"的充分不必要條件，

　　則 ，解得：0＜a＜ ；

　�、赼＜0時，集合A：a＜m＜-3a，

　　若"m∈A"是"m∈B"的充分不必要條件，

　　則 ，解得：- ＜a＜0，

　　綜上：a∈（- ，0）∪（0， ）．

　　18.解：（1）p：a＜x＜3a，q：2＜x≤3，

　　故￢q：x＞3或x≤2

　　∵p是￢q的充分不必要條件，

　　∴3a≤2或a≥3，

　　解得：0＜a≤ 或a≥3，

　　即實數a的取值范圍是（0， ]∪[3，+∞）．

　　（2）p：f′（x）=x2+mx+1，函數無極值，

　　得到△=m2-4≤0，解得：-2≤m≤2，

　　q：0＜m＜1，

　　若p或q為真命題，p且q為假命題，

　　則p，q一真一假，

　　故 或 ，

　　解得：-2≤m≤0或1≤m≤2，

　　故答案為：[-2，0]∪[1，2]．

　　19.解：（1）由|3x-4|＞2得3x-4＞2或3x-4＜-2，

　　即x＞2或x＜ ，即p： ≤x≤2

　　由q： ＞0得x2-x-2＞0得x＞2或x＜-1，即q：-1≤x≤2，

　　則p是q的充分不必要條件．

　�。�2）由（x-a）（x-a-1）≥0得x≤a或x≥a+1，即r：x≤a或x≥a+1，

　　若r是p的必要非充分條件，

　　即a≥2或a+1≤ ，

　　即a≥2或a≤- ，

　　即實數a的取值范圍是a≥2或a≤- ．

　　20.解：（1） （2分）

　　當a=1時，Q={x|（x-1）（x-2）≤0}={x|1≤x≤2}（4分）

　　則P∩Q={1}（6分）

　�。�2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x-a）（x-a-1）≤0}={x|a≤x≤a+1}（8分）

　　∵x∈P是x∈Q的充分條件，∴P?Q（9分）

　　∴ ，即實數a的取值范圍是 （12分）

　　21.解：（I）由x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0；化為（x-3a）（x-a）＜0，解得a＜x＜3a．a=1時，1＜x＜3．

　　q：實數x滿足 ，化為： ，解得2＜x≤3．

　　當p∧q為真，則 ，解得2＜x＜3．

　　∴實數x的取值范圍是（2，3）．

　　（II）∵q是p的充分不必要條件，∴ ，解得1＜a≤2．

　　∴實數a的取值范圍是（1，2]．

　　22.解：（1）若a=1，由x2-4x+3＜0得：1＜x＜3，∴P=（1，3）--------------（2分）

　　由 ≤0得：2＜x≤3；∴Q=（2，3]-------------------------------------------------------------（4分）

　　∴P∩Q=（2，3）---------------------------------------（5分）

　�。�2）￢q為：實數x滿足x≤2，或x＞3；

　　￢p為：實數x滿足x2-4ax+3a2≥0，并解x2-4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a-----------------（7分）

　　￢p是￢q的充分不必要條件，所以a應滿足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2---------------（9分）

　　∴a的取值范圍為：（1，2]----------------------------------（10分）

　　23.解：（1）由x2-4ax+3a2＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，

　　當a=1時，解得1＜x＜3，即p為真時，實數x的取值范圍是1＜x＜3，…（1分）

　　由 ，得2＜x≤3，即q為真時，實數x的取值范圍是2＜x≤3，…（3分）

　　若p∧q為真，則p真且q真，…（4分）

　　∴實數x的取值范圍是（2，3）．…（5分）

　�。�2）p是q的必要不充分條件，即q?p，且p推不出q，

　　設A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，則A?B，…（7分）

　　又B=（2，3]，當a＞0時，A=（a，3a）；a＜0時，A=（3a，a），

　　∴當a＞0時，有 ，解得1＜a≤2；…（9分）

　　當a＜0時，A∩B=?，不合題意；

　　∴實數a的取值范圍是（1，2]．…（10分）

　　24.解：（I）命題p：實數x滿足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）．

　　命題q：實數x滿足 ，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]．

　　a=1，且p∧q為真，則A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）．

　　∴實數x的取值范圍是（2，4）．

　�。á颍┅Vp：（-∞，a]∪[4a，+∞）．

　　￢q：（-∞，2]∪（4，+∞）．

　　若￢p是￢q的充分不必要條件，則 ，解得1≤a≤2．

　　∴實數a的取值范圍是[1，2]．

　　25.解：命題p：x2-8x-20≤0，解得：-2≤x≤10．

　　命題q：（x-1-m）（x-1+m）≤0（m＞0），解得：1-m≤x≤1+m．

　　若q是p的充分而不必要條件，∴ ，解得m≤3．

　　∴實數m的取值范圍是（-∞，3]．

　　26.解：（1）由（x+1）（2-x）≥0，

　　解得：-1≤x≤2，

　　故p為真時：x∈[-1，2]；

　　若關于x的不等式x2+2mx-m+6＞0恒成立，

　　則△=4m2-4（-m+6）＜0，

　　解得：-3＜m＜2，

　　（1）故q為真時，m∈（-3，2）；

　　（2）若p是q的充分不必要條件，

　　即p?q，

　　由p：[-1，2]?（-3，2]，

　　故m∈（-3，2]．

　　27.證明：a=0時，方程化為2x+1=0，解得x= ，滿足條件．

　　a≠0時，關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個實根的充要條件為△=4-4a≥0，解得a≤1，a≠0．

　　綜上可得：關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個實根的充要條件為a≤1．

　　28.證明：∵x2+mx+m+3=0有兩個不相等的實數解，

　　∴△=m2-4（m+3）＞0，

　　∴（m+2）（m-6）＞0．

　　解得m＜-2或m＞6．

　　∴方程x2+mx+m+3=0有兩個不相等的實數解的充要條件是m＜-2或m＞6．

　　29.解2x2-3x+1≤0?（2x-1）（x-1），解得 ≤x≤1，

　　∵（x-a）（x-a-1）≤0?a≤x≤a+1，

　　由p是q的必要不充分條件，從而p是q的充分不必要條件，

　　∴ ，

　　解得0≤a≤ ，

　　故實數a的取值范圍為[0， ]．

　　30.解：（1）由x-a＜0，得x＜a．當a=2時，x＜2，即p為真命題時，x＜2．

　　由x2-4x+3≤0得1≤x≤3，所以q為真時，1≤x≤3．

　　若p∧q為真，則1≤x＜2

　　所以實數x的取值范圍是[1，2）．

　�。�2）設A=（-∞，a），B=[1，3]，q是p的充分不必要條件，

　　所以B?A，從而a＞3．

　　所以實數a的取值范圍是（3，+∞）．

　　31.證明：充分性：…（2分）

　　如果△ABC為等邊三角形，那么a=b=c，

　　所以，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

　　所以，a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，

　　所以a2+b2+c2=ab+bc+ca．…（5分）

　　必要性：…（7分）

　　如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，那么a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，

　　所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

　　所以a=b=0，b-c=0，c-a=0．

　　即 a=b=c．…（10分）

　　32.解：∵p是q的必要條件

　　∴p?q

　　即p?q

　　由p：-2≤x≤10

　　q：1-m≤x≤m+1

　　得

　　解得m≥9

　　33.解：p：實數x滿足x2-4ax+3a2＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a．

　　q：實數x滿足|x-3|＞1，解得x＞4或x＜2．

　　若p是q的充分不必要條件，則a≥4或 ，

　　解得a≥4，或 ．

　　∴實數a的取值范圍是a≥4，或 ．

　　34.解：（1）∵對任意n∈N*，三個數A（n），B（n），C（n）組成等差數列，

　　∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n），

　　即an+1-a1=an+2-a2，亦即an+2-an+1=a2-a1=4．

　　故數列{an}是首項為1，公差為4的等差數列，于是an=1+（n-1）×4=4n-3．

　　（2）證明：（必要性）：若數列{an}是公比為q的等比數列，對任意n∈N*，有an+1=anq．由an＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是  = = =q，  = = =q，

　　即 = =q，

　　∴三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列；

　　（充分性）：若對任意n∈N*，三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列，則

　　B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），

　　于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，即an+2-a2=q（an+1-a1），亦即an+2-qan+1=a2-qa1．

　　由n=1時，B（1）=qA（1），即a2=qa1，從而an+2-qan+1=0．

　　∵an＞0，

　　∴ = =q．故數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列．

　　綜上所述，數列{an}是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈N*，三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列．

　　35.解：由4x2+12x-7≤0，解得：- ≤x≤ ，q：a-3≤x≤a+3．

　　（1）當a=0時，q：-3≤x≤3，

　　若p真q假，則- ≤x＜-3；

　　（2）若p是q的充分條件，

　　則 ，

　　解得：- ≤x≤- ，

　　36.解：由x2-4ax+3a2＜0（a＞0）得（x-a）（x-3a）＜0，

　　得a＜x＜3a，a＞0，則p：a＜x＜3a，a＞0．

　　由 得 ，解得2＜x≤3．

　　即q：2＜x≤3．

　�。�1）若a=1，則p：1＜x＜3，

　　若p∧q為真，則p，q同時為真，

　　即 ，解得2＜x＜3，

　　∴實數x的取值范圍（2，3）．

　�。�2）若￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，

　　∴ ，即 ，

　　解得1＜a≤2．

　　37.解：p：|1- |＜2即為p：-2＜x＜10，

　　q：x2-2x+1-m2＜0即為（x-1）2＜m2，即q：1-|m|＜x＜1+|m|，

　　q是p的充分非必要條件，

　　∴ （兩式不能同時取等號）

　　得到|m|≤3，滿足題意，

　　所以m的范圍為[-3，3]．

　　38.解：x2-3（a+1）x+6a+2≤0，化為（x-2）[x-（3a+1）]≤0，

　　設A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，∵p是q的充分條件，∴A?B．

　�。�1）當a≥ 時，B={x|2≤x≤3a+1}，∴ ，解得1≤a≤3．

　�。�2）當a＜ 時，B={x|3a+1≤x≤2}，∴ ，解得a=-1．

　　∴實數a取值范圍是{a|1≤a≤3，或a=-1}．

　　39.解：關于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集為?，

　　∴△=（a-1）2-4a2＜0，

　　即3a2+2a-1＞0，

　　解得a＜-1或a＞ ，

　　∴p為真時a＜-1或a＞ ；

　　又函數y=（2a2-a）x為增函數，

　　∴2a2-a＞1，

　　即2a2-a-1＞0，

　　解得a＜- 或a＞1，

　　∴q為真時a＜- 或a＞1；

　�。�1）∵p∨q是真命題且p∧q是假命題，∴p、q一真一假，

　　∴當P假q真時， ，即-1≤a＜- ；

　　當p真q假時， ，即 ＜a≤1；

　　∴p∨q是真命題且p∧q是假命題時，a的范圍是-1≤a＜- 或 ＜a≤1；

　�。�2）∵ ，

　　∴ -1≤0，

　　即 ，

　　解得-1≤a＜2，

　　∴a∈[-1，2），

　　∵p為真時-1≤a≤ ，

　　由[-1， ）是[-1，2）的真子集，

　　∴p?r，且r≠＞p，

　　∴命題p是命題r成立的一個充分不必要條件．

　　40.解：（1）p：實數x滿足x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2．可得解集A=[-1，2]，

　　q：實數x滿足 ，化為x（x-3）＜0，解得0＜x＜3，可得解集B=（0，3）．

　　∴A∩B=（0，2]．

　　∵p∧q為真，∴實數x的取值范圍是（0，2]．

　　（2）由r：實數x滿足[x-（a+1）][x+（2a-1）]≤0，其中a＞0，可得解集C=[-2a+1，a+1]．

　　∵p是r的充分不必要條件，∴應有A?C，

　　可得 ，或 ，

　　解得a＞1，故實數a的取值范圍是{a|a＞1}．

　　41.解：由條件q可得 ，

　　∵￢p是q的充分條件，

　　∴在 ≤x≤ 的條件下，得 恒成立，

　　∵f（x）=2[1-cos（ +2x）]-2 cos2x-1

　　=2sin2x-2 cos2x+1

　　=4sin（2x- ）+1．

　　又∵ ≤x≤ ，

　　∴ ≤2x- ≤ ，

　　即3≤4sin（2x- ）+1≤5，即3≤f（x）≤5，

　　∴只需 成立，

　　即2＜m＜6，

　　∴m的取值范圍為（2，6）

　　42.解：因為p是q的必要不充分條件，所以p是q充分不必要條件…（2分）

　　由已知△=4a2-16（2a+5）≤0，∴-2≤a≤10…..（6分）

　　所以[-2，10]是[1-m，1+m]的真子集…（8分）

　　因此有

　　所以實數m的取值范圍是[9，+∞）…．（12分）．

　　43.解：由x2-8x-20≤0，得：-2≤x≤10，

　　故P=[-2，10]．

　　由x2-2x+1-m2≤0，得：1-m≤x≤1+m（m＞0）．

　　故Q=[1-m，1+m]．

　　若p是q的必要不充分條件，

　　則Q?P

　　即

　　解得：0＜m≤3．

　　故實數m的取值范圍為：（0，3]

　　44.解：由p：x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，

　　∵p是q的充分不必要條件，

　　∴[-2，10]?[1-m，1+m]．

　　則 ，或 ，

　　解得m≥9．

　　故實數m的取值范圍為[9，+∞）．