高中數學轉化化歸思想與邏輯劃分思想例題講解

　　一、數學解題中轉化與化歸思想的應用

　　數學活動的實質就是思維的轉化過程，在解題中，要不斷改變解題方向，從不同角度，不同的側面去探討問題的解法，尋求最佳方法。

　　在轉化過程中，應遵循三個原則：

　　1、熟悉化原則，即將陌生的問題轉化為熟悉的問題；

　　2、簡單化原則，即將復雜問題轉化為簡單問題；

　　3、直觀化原則，即將抽象總是具體化.

　　策略一：正向向逆向轉化

　　一個命題的題設和結論是因果關系的辨證統一，解題時，如果從下面入手思維受阻，不妨從它的正面出發，逆向思維，往往會另有捷徑.

　　例1 ：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不共面的取法共有__________種.

　　A、150 B、147 C、144 D、141

　　分析：本題正面入手，情況復雜，若從反面去考慮，先求四點共面的取法總數再用補集思想，就簡單多了.

　　10個點中任取4個點取法有 種，其中面ABC內的6個點中任取4點都共面有 種，同理其余3個面內也有 種，又，每條棱與相對棱中點共面也有6種，各棱中點4點共面的有3種， 不共面取法有 種，應選（D）.

　　策略二：局部向整體的轉化

　　從局部入手，按部就班地分析問題，是常用思維方法，但對較復雜的數學問題卻需要從總體上去把握事物，不糾纏細節，從系統中去分析問題，不單打獨斗.

　　例2：一個四面體所有棱長都是 ，四個頂點在同一球面上，則此球表面積為（ ）

　　A、 B、 C、 D、

　　分析：若利用正四面體外接球的性質，構造直角三角形去求解，過程冗長，容易出錯，但把正四面體補形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點，因為正四面體棱長為 ，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑為 ，應選（A）.

　　策略三：未知向已知轉化

　　又稱類比轉化，它是一種培養知識遷移能力的重要學習方法，解題中，若能抓住題目中已知關鍵信息，鎖定相似性，巧妙進行類比轉換，答案就會應運而生.

　　例3：在等差數列 中，若 ，則有等式

　　（ 成立，類比上述性質，在等比數列 中， ，則有等式_________成立.

　　分析：等差數列 中， ，必有 ，故有 類比等比數列 ，因為 ，故 成立.

　　二、邏輯劃分思想

　　例題1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求實數 a 取值的集合.

　　解 A= ： 分兩種情況討論

　　（1）B=￠，此時a=0；

　　(2)B為一元集合，B= ，此時又分兩種情況討論 ：

　　(i) B={-1}，則 =-1，a=-1

　　（ii）B={1}，則 =1， a=1.（二級分類）

　　綜合上述 所求集合為 .

　　例題2、設函數f(x)＝ax －2x＋2，對于滿足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求實數a的取值范圍.

　　例題3、已知 ，試比較 的大小.

　　【分析】

　　于是可以知道解本題必須分類討論，其劃分點為 .

　　小結：分類討論的一般步驟：

　　（1）明確討論對象及對象的范圍P.（即對哪一個參數進行討論）；

　　（2）確定分類標準，將P進行合理分類，標準統一、不重不漏，不越級討論.；

　　（3）逐類討論，獲取階段性結果.（化整為零，各個擊破）；

　　（4）歸納小結，綜合得出結論.（主元求并，副元分類作答）.