什么是分形幾何？

    1973年，曼德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設想。分形（Fractal）一詞，是曼德勃羅創造出來的，其愿意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規則幾何形態為研究對象的幾何學。由于不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建立以后，很快就引起了許多學科的關注，這是由于它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。

    分形幾何與傳統幾何相比有什么特點

    ⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規則的。

    ⑵在不同尺度上，圖形的規則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統的。

    什么是分維？

    在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以梢加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣于整數的維數。分形理論把維數視為分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。

    分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的線度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若干個相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數1、2、3，正好等于與圖形相應的經驗維數。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有：a^D=b, D=logb/loga的關系成立，則指數D稱為相似性維數，D可以是整數，也可以是分數。另一方面，當我們畫一根直線，如果我們用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數為1（大于0、小于2）。與此類似，如果我們畫一個Koch曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個與Koch曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大于1、小于2，那么只能是小數（即分數）了，所以存在分維。其實，Koch曲線的維數是1.2618……。

    Fractal（分形）一詞的由來

    據曼德勃羅教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“產生無規碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德勃羅一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規則的、破碎的、分數的。曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中傳統歐幾里德幾何學所不能描述的一大類復雜無規的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點是，極不規則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。

    分形的定義

    曼德勃羅曾經為分形下過兩個定義：
    （1）滿足下式條件: Dim(A)>dim(A) 的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數（或分維數），dim(A)為其拓撲維數。一般說來，Dim(A)不是整數，而是分數。

    （2）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。

    然而，經過理論和應用的檢驗，人們發現這兩個定義很難包括分形如此豐富的內容。實際上，對于什么是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義，正如生物學中對“生命”也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形的定義也可同樣的處理。

    （i）分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說它具有精細的結構。
    （ii）分形集不能用傳統的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。
    （iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的自相似。
    （iv）一般，分形集的“分形維數”，嚴格大于它相應的拓撲維數。
    （v）在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產生。