第十一屆“希望杯”數學競賽初二第二試

第十一屆“希望杯”數學競賽初二第二試

一．選擇題： 1．－, －, －, －這四個數從小到大的排列順序是（ ）。 （A）－<－<－<－ （B）－<－<－<－ （C）－<－<－<－ （D）－<－<－<－ 2．一個三角形的三條邊長分別是a, b, c(a, b, c都是質數)，且a＋b＋c＝16，則這個三角形的形狀是（ ）。 （A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等邊三角形（D）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x=2000, 80y=2000，則等于（ ）。 （A）2　　 （B）1　　 （C）　　（D） 4．設a＋b＋c=0, abc>0，則的值是（ ）。 （A）－3　　 （B）1　　 （C）3或－1　　 （D）－3或1 5．設實數a、b、c滿足a<b<c (ac<0)，且|c|<|b|<|a|，則|x－a|＋|x－b|＋|x＋c|的最小值是（ ）。 （A） （B）|b| （C）c－a （D）―c―a 6．若一個等腰三角形的三條邊長均為整數，且周長為10，則底邊的長為（ ）。 （A）一切偶數 （B）2或4或6或8 （C）2或4或6 （D）2或4 7．三元方程x＋y＋z＝1999的非負整數解的個數有（ ）。 （A）20001999個 （B）19992000個 （C）2001000個 （D）2001999個 8．如圖1，梯形ABCD中，AB//CD，且CD＝3AB，EF//CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE ：ED等于（ ）。 （A）2 （B） （C） （D） 9．如圖2，一個邊長分別為3cm、4cm、5cm的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是（ ）。 （A）cm2　　　 （B）cm2 （C）cm2　　　 （D）cm2 10．已知p＋q＋r＝9，且, 則等于（ ）。 （A）9　　 （B）10　 （C）8　 （D）7 　 二．填空題： 11．化簡：=　　　　　　　　　　　　 。 12．已知多項式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可以分解為(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，那么的值是　　　　　　 。 13．△ABC中，AB>AC，AD、AE分別是BC邊上的中線和∠A的平分線，則AD和AE的大小關系是AD　　　 AE。(填“>”、“<”或“＝”) 14．如圖3，銳角△ABC中，AD和CE分別是BC和AB邊上的高，若AD與CE所夾的銳角是58°，則∠BAC＋∠BCA的大小是　　　　　　　 。 15．設a2－b2＝1＋, b2－c2＝1－，則a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a2的值等于　　　　　　　 。 16．已知x為實數，且x2＋=3，則x3＋的值是　　　　　 。 17．已知n為正整數，若是一個既約分數，那么這個分數的值等于　　　　　 。 18．如圖4，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝60°，將△ABC折疊，使點B和點C重合，折痕為DE，則△AEC的面積是　　　　 。 19．已知非負實數a、b、c滿足條件：3a＋2b＋c=4, 2a＋b＋3c=5，設S＝5a＋4b＋7c的最大值為m，最小值為n，則n－m等于　　　　　　 。 20．設a、b、c、d為正整數，且a7＝b6, c3＝d2, c－a＝17，則d－b等于　　　　 。 三．解答題： 21．已知實數a、b滿足條件|a－b|＝<1,化簡代數式(－)，將結果表示成只含有字母a的形式。 22．如圖5，正方形ABCD中，AB＝，點E、F分別在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面積。 23．將編號為1，2，3，4，5的五個小球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中，每個盒子只放入一個， = 1 * GB3 ① 一共有多少種不同的放法？ = 2 * GB3 ② 若編號為1的球恰好放在了1號盒子中，共有多少種不同的放法？ = 3 * GB3 ③ 若至少有一個球放入了同號的盒子中(即對號放入)，共有多少種不同的放法？ 參考答案 一．選擇題： 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B D D C C D A 二．填空題： 題號 11 12 13 14 15 答案 1 － > 122° 5 題號 16 17 18 19 20 答案 ±2 －2 601 三．解答題： 21．∵|a－b|＝<1， ∴ a、b同號，且a≠0, b≠0, ∴ a－b－1＝(a-b)-1<0, ∴(－)=(－)[1-(a-b)]=. = 1 * GB3 ① 若a、b同為正數，由<1，得a>b， ∴ a-b=, a2－ab=b, 解得b=, ∴(－)==(1－) 　　　　　　　　　　 =－·=－ 　　　　　　　　　　 =－. = 2 * GB3 ② 若a、b同為負數，由<1，得b>a， ∴ a-b=－, a2－ab=－b, 解得b=, ∴(－)==(1＋) 　　　　　　　　　�。�= 　　　　　　　　　　 =. 綜上所述，當a、b同為正數時，原式的結果為－；當a、b同為負數時，原式的結果為 22．將△ADF繞A點順時針方向旋轉90°到△ABG的位置， ∴ AG＝AF，∠GAB＝∠FAD＝15°， ∠GAE＝15°＋30°＝45°， ∠EAF＝90°－(30°＋15°) ＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE，又AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG， ∠AEF＝∠AEG＝60°， 在Rt△ABE中，AB＝，∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝60°，BE＝1， 在Rt△EFC中，∠FEC＝180°－(60°＋60°)＝60°， EC＝BC－BE＝－1，EF＝2(－1)， ∴EG＝2(－1)，S△AEG＝EG·AB＝3－， ∴S△AEF＝S△AEG＝3－. 23． = 1 * GB3 ① 將第一個球先放入，有5種不同的的方法，再放第二個球，這時以4種不同的放法，依此類推，放入第三、四、五個球，分別有3、2、1種放法，所以總共有5×4×3×2×1＝120種不同的放法。 = 2 * GB3 ② 將1號球放在1號盒子中，其余的四個球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，這樣共有4×3×2×1＝24種不同的放法。 = 3 * GB3 ③ (解法一) 在這120種放法中，排除掉全部不對號的放法，剩下的就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數。 為研究全部不對號的放法種數的計算法，設A1為只有一個球放入一個盒子，且不對號的放法種數，顯然A1＝0，A2為只有二個球放入二個盒子，且不對號的放法種數，∴ A2＝1，A3為只有三個球放入三個盒子，且都不對號的放法種數，A3＝2，……，A n為有n個球放入n個盒子，且都不對號的放法種數。 下面我們研究A n+1的計算方法，考慮它與A n及A n－1的關系， 如果現在有 n個球已經按全部不對號的方法放好，種數為A n。取其中的任意一種，將第n＋1個球和第n＋1個盒子拿來，將前面n個盒子中的任一盒子(如第m個盒子)中的球(肯定不是編號為m的球)放入第n＋1個盒子，將第n＋1個球放入剛才空出來的盒子，這樣的放法都是合理的。共有n A n種不同的放法。 但是，在剛才的操作中，忽略了編號為m的球放入第n＋1個盒子中的情況，即還有這樣一種情況，編號為m的球放入第n＋1個盒子中，且編號為n＋1的球放入第m個盒子中，其余的n－1個球也都不對號。于是又有了nA n－1種情況是合理的。 綜上所述得A n＋1＝nA n＋nA n－1＝n(A n＋A n－1). 由A1=0, A2=1, 得A3=2(1＋0)=2, A4＝3(2＋1)=9, A5＝4(9＋2)=44. 所以至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數為全部放法的種數減去五個球都不對號的放法種數，即120－44＝76種。 (解法二) 從五個球中選定一個球，有5種選法，將它放入同號的盒子中 (如將1號球放入1號盒子)，其余的四個球隨意放，有24種放法，這樣共有5×24＝120種放法。 但這些放法中有許多種放法是重復的，如將兩個球放入同號的盒子中(例如1號球和2號球分別放入1號盒子、2號盒子中)的放法就計算了兩次，這樣從總數中應減去兩個球放入同號的盒子中的情況，得120－＝120－60(種)。 很明顯，這樣的計算中，又使得將三個球放入同號的盒子中(例如1號球、2號球和3號球分別放入1號盒子、2號盒子和3號盒子中)的放法少計算了一次，于是前面的式子中又要加入＝20種， 再計算四個球、五個球放入同號盒子的情況，于是再減去四個球放入同號盒子中的情況，最后加上五個球放入同號中的情況。 整個式子為120－＋－＋＝120－60＋20－5＋1＝76(種)。