希爾伯特23個問題及解決情況

　　1900年希爾伯特應邀參加巴黎國際數學家大會并在會上作了題為《數學問題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：

　　正如人類的每一項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發現新觀點，達到更為廣闊的自由的境界。

　　希爾伯特特別強調重大問題在數學發展中的作用，他指出：“如果我們想對最近的將來數學知識可能的發展有一個概念，那就必須回顧一下當今科學提出的，希望在將來能夠解決的問題。”同時又指出：“某類問題對于一般數學進程的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不可否認的。只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止。”

　　他闡述了重大問題所具有的特點，好的問題應具有以下三個特征：

　　清晰性和易懂性；

　　雖困難但又給人以希望；

　　意義深遠。

　　同時他分析了研究數學問題時常會遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會議上他提出了在新世紀里數學家應努力去解決的23個問題，即著名的“希爾伯特23個問題”。

　　編號問題推動發展的領域解決的情況

　　1連續統假設公理化集合論1963年，PaulJ.Cohen在下述意義下證明了第一個問題是不可解的。即連續統假設的真偽不可能在Zermelo_Fraenkel公理系統內判定。

　　2算術公理的相容性數學基礎希爾伯特證明算術公理的相容性的設想，后來發展為系統的Hilbert計劃（“元數學”或“證明論”）但1931年歌德爾的“不完備定理”指出了用“元數學”證明算術公理的相容性之不可能。數學的相容性問題至今未解決。

　　3兩等高等底的四面體體積之相等幾何基礎這問題很快（1900）即由希爾伯特的學生M.Dehn給出了肯定的解答。

　　4直線作為兩點間最短距離問題幾何基礎這一問題提得過于一般。希爾伯特之后，許多數學家致力于構造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問題上取得很大進展，但問題并未完全解決。

　　5不要定義群的函數的可微性假設的李群概念拓撲群論經過漫長的努力，這個問題于1952年由Gleason，Montqomery，Zipping等人最后解決，答案是肯定的。

　　6物理公理的數學處理數學物理在量子力學、熱力學等領域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。

　　7某些數的無理性與超越性超越數論1934年A.O.temohm和Schneieder各自獨立地解決了這問題的后半部分。

　　8素數問題數論一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問題中的Goldbach問題至今也未解決。中國數學家在這方面做了一系列出色的工作。

　　9任意數域中最一般的互反律之證明類域論已由高木貞治（1921）和E.Artin（1927）解決。

　　10Diophantius方程可解性的判別不定分析1970年由蘇、美數學家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。

　　11系數為任意代數數的二次型二次型理論H.Hasse（1929）和C.L.Siegel（1936，1951）在這問題上獲得了重要的結果。

　　12Abel域上kroneker定理推廣到任意代數有理域。復乘法理論尚未解決。

　　13不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程。方程論與實函數論連續函數情形于1957年由蘇數學家否定解決，如要求是解析函數，則問題仍未解決。

　　14證明某類完全函數系的有限性代數不變式理論1958年永田雅宜給出了否定解決。

　　15Schubert記數演算的嚴格基礎代數幾何學由于許多數學家的努力，Schubert演算的基礎的純代數處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數幾何的基礎，已由B.L.VanderWaerden（1938-40）與A.Weil（1950）建立。

　　16代數曲線與曲面的拓撲曲線與曲面的拓撲學、常微分方程的定性理論問題的前半部分，近年來不斷有重要結果。

　　17正定形式的平方表示式域（實域）論已由Artin于1926年解決。

　　18由全等多面體構造空間結晶體群理論部分解決。

　　19正則變分問題的解是否一定解析橢圓型偏微分方程理論這個問題在某種意義上已獲解決。

　　20一般邊值問題橢圓型偏微分方程理論偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發展。

　　21具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性線性常微分方程大范圍理論已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl（德，1957）解決。

　　22解析關系的單值化Riemann曲面體一個變數的情形已由P.Koebe（德，1907）解決。

　　23變分法的進一步發展變分法Hilbert本人和許多數學家對變分法的發展作出了重要的貢獻。