08高考數學復習：平面向量解題要點與實際應用

　　我給學生提出了“三大線索，兩大技巧”的復習重點。三大線索即：向量形式、坐標形式、幾何意義。兩大技巧為：抓“基底”、升次數。

　　天津一中賈魯津

　　平面向量這一章內容本身兼有代數、幾何雙重特點，而又完全有別于學生多年來數學學習中所接觸到的代數運算和幾何證明，因此，多數同學對本章問題感到既抓不住重點，也找不到規律，因此很困惑，甚者發憷。比較近幾年數學高考試卷中的平面向量題目，不難發現其中的幾個突出變化：1.相關知識點覆蓋面越來越全；2.與其他章節知識的交匯越來越多樣，也越來越深入；3.題目所在檔次有所提高，拿到相關分數的難度越來越大。如此，就增加了學生備考的難度。在順利完成基本概念和基本運算復習的基礎上，我給學生提出了“三大線索，兩大技巧”的復習重點。三大線索即：向量形式、坐標形式、幾何意義。兩大技巧為：抓“基底”、升次數。下面就以向量與其他章節的綜合為主線，和同學們一起回顧一下主要內容及其應用。

　　一、基本計算類:

　　1.已知-＝(1，2)，-＝(-3，2)，若(k-+-)⊥(--3-)則k＝_______，

　　若(k-+-)//(--3-)，則k＝____

　　答案：19，--。公式基本應用，無需解釋。

　　2.已知向量-=(cos，sin)，向量-=(2-，-1)則|3---|的最大值為解：(3a-b)2=(3cosθ-2-,3sinθ+1)(3cosθ-2-,3sinθ+1)

　　=(3cosθ-2-)2+(3sinθ+1)2

　　=9cos2θ-12-cosθ+8+9sin2θ+1+6sinθ

　　=18+6sinθ-12-cosθ

　　≤18+-=18+18=36

　　∴|3a-b|max=6

　　點評：本題雖然是道小的綜合題，但是向量中的升次技巧還是十分突出的，“見模平方”已是很多老師介紹給同學的一大法寶。不過升次的另外一種途徑，就是同時點乘向量。

　　二、向量與三角知識綜合：

　　3.設-=(1+cos，sin)，-=(1-cos，sin)，-=(1，0)，∈(0，)，∈(，2)-，-的夾角為θ1，-，-的夾角為θ2，且θ1-θ2=-，求sin-的值。

　　解：-·■=1+cos

　　-·■=1-cos

　　|-|2=2+2cos=4cos2-|-|2=2-2cos=4sin2-|-|=1

　　∵-∈(0，-)-∈(-，)

　　∴|-|=2cos-|-|=2sin-

　　又-·■=|-||-|cosθ1

　　∴1+cos=2cos-cosθ1

　　2cos2-=2cos-·cosθ1

　　∴cosθ1=cos-∴θ1=-

　　同理-·■=|-||-|cosθ2

　　∴sin-=cosθ2

　　∴cos(---)=cosθ2

　　∴---=θ2

　　∴θ1-θ2=-+-=-

　　∴-=--

　　∴sin-=--

　　三、向量與函數、不等式知識綜合：

　　4.已知平面向量-=(-，1)，-=(-，-)，若存在不同時為零的實數k，t，使-=-+(t2-3)-，-=-k-+t-，且-⊥-.(1)試求函數關系式k=f(t)；(2)求使f(t)>0的t的取值范圍.

　　解：(1)由題知-·■=0，|-|2=4|-|2=1

　　-·■=-k-2+t-·■+t(t3-3)-2-k(t2-3)-·■=-4k+t(t2-3)=0

　　∴k=-(t3-3t)即f(t)=-(t3-3t)

　　(2)f’(t)=-(3t2-3)=-(t2-1)

　　-

　　令f(t)=0∴t1=0t2=--t3=-

　　由圖可知

　　t∈(--，0)∪(-,+∞)

　　四、用向量的知識解決三角形四邊形中的問題。(與平面幾何的交匯是近幾年考試的熱點)

　　溫馨提示：據以下問題，同學們可以歸納一些常見結論，如與內心、外心、垂心、重心、中線、角分線、高線、共線、垂直等相關的結論。

　　5.O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足-=-+(-+-)·∈(0,+∞)。則P的軌跡一定通過△ABC的()

　　A.外心B.內心

　　C.重心D.垂心

　　答案：B

　　6.設平面內有四個互異的點A，B，C，D，已知(---)與(-+--2-)的內積等于零，則△ABC的形狀為()

　　(A)直角三角形

　　(B)等腰三角形

　　(C)等腰直角三角形

　　(D)等邊三角形

　　答案：B

　　解：-+--2-=(---)+(---)=-+-

　　又---=-

　　∴-·（-+-)=0

　　∴等腰三角形

　　7.已知-A=-，-C=-，-C=-且滿足(---)·■=0(>0)，則△ABC為()

　　A.等邊三角形B.等腰三角形

　　C.直角三角形D.不確定

　　解：式子的含義就是角分線與高線合一。故選B。

　　8.若平面四邊形ABCD滿足-+-=-，(---)·■=0，則該四邊形一定是

　　A.直角梯形B.矩形

　　C.菱形D.正方形

　　答案為C。第一個條件告訴我們這是平行四邊形，而第二個條件則說明對角線互相垂直。

　　五、向量與解析幾何的綜合：

　　9.設F為拋物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若-+-+-=0，

　　解：由-+-+-=0可知，F為三角形ABC的重心，故xg=-,而|-|+|-|+|-|=xA+xB+xC+3-故原式值為6。

　　10.已知A、B、D三點不在一條直線上，且A(-2，0)，B(2，0)|-|=2，-=-(-+-)求E點的軌跡方程；

　　解：(1)設E(x，y)，-=-+-，則四邊形ABCD為平行四邊形，而-=-(-+-)E為AC的中點

　　∴OE為△ABD的中位線

　　∴|-|=-|-|=1

　　∴E點的軌跡方程是：x2+y2=1(y≠0)

　　點評：本題正是關注了向量幾何意義得以實現運算簡化。

　　11.設橢圓方程為x2+-=1，過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足-=-(-+-)，點N的坐標為(-，-)，當l繞點M旋轉時，求：

　　(1)動點P的軌跡方程；

　　(2)|-|的最小值與最大值.

　　(1)解：設點P的坐標為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以x12+-=1④x22+-=1⑤

　�、堋�⑤得x12-x22+-(y12-y22)=0，所以(x1-x2)(x1+x2)+-(y1-y2)(y1+y2)=0

　　當x1≠x2時，有x1+x2+-(y1+y2)·■=0⑥

　　-

　　將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧

　　當x1=x2時，點A、B的坐標為(0，2)、(0，-2)，這時點P的坐標為(0，0)

　　也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為-+-=1

　　(2)解：由點P的軌跡方程知x2≤-，即--≤x≤-。

　　所以|-|2=(x--)2+(y--)2=(x--)2+--4x2=-3(x+-)2+-……10分

　　故當x=-，|-|取得最小值，最小值為-；當x=--時，|-|取得最大值，

　　最大值為-。

　　點評：本題突出向量的坐標運算與解析幾何求軌跡方法的結合，以及二次函數求最值問題。

　　12.在△ABC中，-=-，-=-又E點在BC邊上，且滿足3-=2-，以A，B為焦點的雙曲線過C,E兩點，(1)求此雙曲線方程，(2)設P是此雙曲線上任意一點，過A點作APB的平分線的垂線，垂足為M，求M點軌跡方程。

　　解：本題只解第一問，在這里向量的應用是很有新意的。

　　(1)以線段AB中點O為原點，直線AB為x軸建立直角坐標系，設A(-1,0)B(1,0)作CO⊥AB于D

　　由已知-=-

　　∴|-|cosA=-

　　∴|-|=-

　　又同理-=-

　　∴|-|=-

　　設雙曲線---=1(a>0，b>0)C(--，h)E(x1，y1)

　　∵3-=2-

　　-

　　E，C在雙曲線上

　　-

　　∴雙曲線為7x2--y2=1